数列の問題について 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, ••• n番目の数字をXとすると

数列の問題について

2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, •••
n番目の数字をXとすると、Xはどういう式で表せますか？

いろいろ考えたのですが分かりませんでした。

No.6 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/06/13 22:13

Σの計算方法ということであれば、基本的には以下の4つの式ぐらいしかないです。

これに当てはまらない和は、テクニックとして、
・差分を作ることによって、最初の何項かと最後の何項かを残して、あとはプラスマイナスで消してしまう。
・公比のようなものを掛けることによって項をずらし、元の式との差をとることによって、最初の項と最後の項以外は消してしまう。
などがありますが。

いずれにせよ、Σはsin、cosやlog等の「関数」ではなく、ただ単に和（足し算）の書き方を簡素化しただけの「表記上の記号」に過ぎないので、
難しいことはないです。

以下、全て、k=1からnまでとします。

Σk=(1/2)n(n+1)
Σk²=(1/6)n(n+1)(2n+1)
Σk³={(1/2)n(n+1)}²　←Σkの2乗です。たまたまですが。
Σar^(k-1)=a(1-r^n)/(1-r)　←これは、左辺を「初項a、公比rの等差数列の、第1項から第n項までの和」と解釈して、右辺になる。

この回答へのお礼

そういえば、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
は最初と最後を足してn/2かけるというのを思い出しました。
(1+10)*10/2=55
これがΣkですね！
数学は分かると楽しいもんですよね？

お礼日時：2020/06/13 22:23

No.5 回答者： springside 回答日時： 2020/06/13 21:53

>>初心者に分かりやすい説明の書いたHPなどありますか？

階差数列から元の数列を求めるということであれば、その考え方や
計算方法（公式）は以下のページを見ると判りやすいと思います。
↓
https://rikeilabo.com/difference-sequence
https://mathtrain.jp/kaisa

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/13 21:50

２　３　５　８　１２　１７　２３・・・元の数列

　１　２　３　４　　５　　６・・・階差数列（お隣同士の項で引き算した数列）

このように階差数列は１づつ増えていますから
初項をa1（=2）
第2項をa2(=3)
第ｎ項をanとして
その差（階差数列を)
a2-a1=b1(=1)
a3-a2=b2(=2)
・・・
a[n-1]-a[n-2]=b[n-2](=n-2)
a[n]-a[n-1]=bn[n-1](=n-1)とすると
an=a[n-1]+b[n-1]
=(a[n-2]+b[n-2])+b[n-1]
=(a[n-3]+b[n-3])+b[n-2]+b[n-1]
・
・
=a1+b1+b2+b3+・・・b[n-1]
=a1+1+2+3+・・・(n-1)・・・①
ここで　1+2+3+・・・(n-1)は初項１、末項n-1 項数n-1の等差数列だから　等差数列の和の公式で
1+2+3+・・・+(n-1)=(1/2)(初項＋末項）ｘ（項数）＝(1/2){1+(n-1)}(n-1)=(1/2)n(n-1)なので
①の続き=2+(1/2)n(n-1)
=(1/2)x4+(1/2)n(n-1)
＝(1/2){n(n-1)+4)
=(1/2)(n²-n+4)

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/13 21:40

a[2]-a[1]=1

a[3]-a[2]=2
a[4]-a[3]=3
：
：
a[n]-a[n-1]=n-1
a[n]-a[1]=Σ[k=1, n-1]k
=n(n-1)/2
=(n^2 - n)/2

a[n]=a[1]+(n^2 - n)/2
=2+(n^2 - n)/2
=(n^2 - n + 4)/2

この回答へのお礼

皆さん数学の仕事されてます？数学は得意だったのでできると思ったのですが、高校時代のことやっぱり忘れてるもんですね。

お礼日時：2020/06/13 21:48

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/06/13 21:36

階差数列を考えて、公式一発。

階差数列は、1,2,3,4,5,6,…,n,…だから、求める数列をa[n]とすると、

a[n]=a[1}+Σ[1,n-1]k　（ただし、n≧2）
=2+(1/2)(n-1)n
=(n²-n+4)/2
n=1のときもこれでよいから、a[n]=(n²-n+4)/2

この回答へのお礼

すみません、数列を習ったのが25年も前でΣの計算方法を忘れてしまいました。初心者に分かりやすい説明の書いたHPなどありますか？

お礼日時：2020/06/13 21:44

No.1 回答者： kamejiro 回答日時： 2020/06/13 21:22

3-2→1

5-3→2
8-5→3
12-8→4
17-12→5
23-17→6


A2　－　A1　→　1
A3　－　A2　→　2
…
An　－　An-1　→　n－１

左辺の和＝An-A1＝An－2
右辺の和＝1/2×n×（n-1）

ということは、

An＝1/2×n×（n-1）+2

かな？

この回答へのお礼

この方式はわかりやすいですね。Σ使わずに解いてるのがすごい。

お礼日時：2020/06/13 21:45