ミクロ経済学 生産関数についての問題です。

生産関数がX=3L^(2/3) K^(1/3)の企業がある。労働賃金が2000円、資本レンタル料が1000円とすると、90単位生産するときの最小の費用はいくらか？

解き方がわからず答えがだせません。
どなたか教えてくださいよろしくお願いします。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/06/17 06:17

費用をCと書くと等費用曲線は

C=2000L+1000K
となる。これを
90 = 3L^(2/3)K^(1/3)
の制約のもとでCを最小化する（L,K)の組を見つければよい。2番目の式は
30 = L^(2/3)K^(1/3)
両辺を3乗すると
27000＝L^2K
K=27000/L^2　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
となるので、これを等費用曲線に代入して
C=2000L + 27000000L^(-2)
と、右辺はLだけの関数となるので、両辺をLで微分して０とおく。すなわち、
0= dC/dL　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(**)
を解いて、Lの値を求め、ついでそのLの値を（＊）に代入してKの値を求める。（L,K)の値が求まったので、それを等費用曲線に代入すると最小費用が求まる。(**)の計算ができないといけないので、微分の知識が必要です。この欄の質問者を見ていると、中学レベルの連立1次方程式すら解けない人をたくさん見受けるのですが、あなたは大丈夫ですか？

もう一つの方法はグラフをながめることですが、上で答えがでたら、教えますので、言ってください。