正四面体についての問題です。(3)の詳しい説明をお願いします。早ければ助かるのですが。

一辺の長さが４の正四面体ＡＢＣＤがある。辺ＡＢ上にＡＥ：ＥＢ＝３：１となる点Ｅをとり、辺ＡＤの中点をＦとする。
(1) 線分ＣＥの長さを求めよ。　➡　ＣＥ＝√１３
(2) △ＣＥＦの面積を求めよ。　➡　△ＣＥＦ＝３√１３/２
(3) 点Ａから平面ＣＥＦに垂線ＡＨを引くとき、線分ＡＨの長さを求めよ。

No.4 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/06/21 22:29

No.1です。

EFを求めます。
△AEFでEからAFへ垂線EPを引きます。
直角三角形EAPは∠EAP=60°から、EA=3より　AP=3/2　EP=3√3/2、　AF=2よりFP=1/2
直角三角形EPFで三平方の定理を使って、EF=√7

△CEFでFからECへ垂線CQを引きます。
FE=√7、FC=2√3、EC=√13、EQ=x、CQ=√13-x
三平方の定理を使って、
FQ²=FE²-EQ²　FQ²=FC²-CQ²
FE²-EQ²=FC²-CQ²
(√7)²-x²=(2√3)²-(√13-x)²
7-x²=12-13-x²+2√13x
2√13x=8
√13x=4　　　　両辺√13倍して有理化
13x=4√13
x=EQ=4√13/13
FQ²=FE²-EQ²
　　=(√7)²-(4√13/13)²
　　=7-16×13/169
　　=(1183-208)/169
　　=975/169
FQ>0より
FQ=√(975/169)=5√39/13
△CEF=EC×FQ×1/2
　　　　=√13×5√39/13×1/2
　　　　=5√3/2

A-BCD=4×2√3×1/2×4√6/3×1/3=16√2/3

A-ECF=A-BCD×(AE/AB)×(AC/AC)×(AF/AD)
　　　　=16√2/3×(3/4)×(1/1)×(1/2)
　　　　=2√2

A-ECF=△ECF×AH×1/3=2√2
5√3/2×AH×1/3=2√2
　　　　　5√3AH=12√2　　　　　　　　両辺√3倍して有理化
　　　　　　 15AH=12√6
　　　　　　　　AH=4√6/5

この回答へのお礼

丁寧な説明、ありがとうございます。高３女子ですが、英語はかなり強いのですが、数学は少し苦労する事が頻繁にあります。提出日に間に合い対辺たすかりました。甘えかもしれませんが、理数系の頭脳ではないようですので、今後とも助けていただければ嬉しいです。

お礼日時：2020/06/22 23:46

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/21 18:48

CE=√13、CF=2√3、EF=√7

△CEFにおいて余弦定理を利用
CE²＝EF²+CF²－２・EF・CF・cos∠EFC
√13²＝√7²+(2√3)²－２・√7・2√3・cos∠EFC
13＝7+12－4√21・cos∠EFC
4√21・cos∠EFC=6
cos∠EFC=6/(4√21)=3/(2√21)

sin²∠EFC+cos²∠EFC=1
sin²∠EFC+{3/(2√21)]²=1
sin²∠EFC+9/84=1
sin²∠EFC=75/84=25/28
sin∠EFC=5/(2√7)

△ＣＥＦ＝(1/2)・EF・CF・sin∠EFC
=(1/2)・√7・2√3・{5/(2√7)}
=(5√3)/2

1辺が a の正四面体の体積は、(√2/12)a³
これより、正四面体ABCDの体積は、(√2/12)4³=(16√2)/3

四面体EACFの体積と正四面体ABCDの体積を比較
それぞれの底面を△AFC、△ADCとすると、FはADの中点なので、
△AFC:△ADC=1:2
それぞれの高さの比は 3:4 (EA:BA=3:4 より)
四面体EACFは正四面体ABCDと比べて、底面積は 1/2 、高さは 3/4なので、(1/2)×(3/4)=3/8
これより、四面体EACFの体積は、(16√2)/3 × (3/8) =2√2

四面体EACFの体積を△CEFを底面として求めると、高さは AH なので、(1/3)×△CEF×AH
よって、
(1/3)×△CEF×AH=2√2
(1/3) × (5√3)/2 × AH =2√2
AH=(12√2)/(5√3)
=(4√6)/5

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/21 11:09

→AB = b, →AC = c, →AD = d と置けば、もうほとんど終わり。

|b| = |c| = |d| = 4, bc,cd,db のなす角はそれぞれ 60°,
→AE = (3/4)(→AB), →AF = (1/2)(→AD) となっている。
あとは、頭ではなく指を使って計算する。

(1)
CE = |→CE|,
→CE = →AE - →AC = (3/4)b - c
より、
CE^2 = |(3/4)b - c|^2 = ((3/4)b - c)・((3/4)b - c)
= {(3/4)^2)}b・b - 2(3/4)b・c + c・c
= (9/16)|b|^2 - (3/2)|b||c|cos60° + |c|^2
= (9/16)4^2 - (3/2)4・4・(1/2) + 4^2
= 13.
よって、CE = √13.

(2)
△ＣＥＦ = (1/2)|→CE × →CF|,
→CE × →CF = (→AE - →AC)×(→AF - →AC)
= ((3/4)b - c)×((1/2)d - c)
= (3/4)(1/2)b×d - (3/4)b×c - (1/2)c×d + c×c
= (3/8)b×d - (3/4)b×c - (1/2)c×d.
であり、
|b×d| = |b×c| = |c×d| = 4・4・sin60° = 8√3,
(b×d)・(b×c) = (b⋅b)(c⋅d) - (d⋅c)(b⋅d) = (4^2){(4^2)cos60°} - {(4^2)cos60°}{(4^2)cos60°} = 64,
同様に (b×c)・(c×d) = (c×d)・(b×d) = 64
より、
|→CE × →CF|^2 = |(3/8)b×d - (3/4)b×c - (1/2)c×d|^2
= ((3/8)b×d - (3/4)b×c - (1/2)c×d)・((3/8)b×d - (3/4)b×c - (1/2)c×d)
= {(3/8)^2}(b×d)・(b×d) + {(3/4)^2}(b×c)・(b×c) + {(1/2)^2}(c×d)・(c×d)
　- 2(3/8)(3/4)(b×d)・(b×c) + 2(3/4)(1/2)(b×c)・(c×d) - 2(1/2)(3/8)(c×d)・(b×d)
= (9/64)(8√3)^2 + (9/16)(8√3)^2 + (1/4)(8√3)^2
　- 2(9/32)64 + 2(3/8)64 - 2(3/16)64
= 171.
よって、△ＣＥＦ = (3/2)√19.　　あれ？

(3)
四面体ACEF = (1/6)(△CEF)(AH),
四面体ACEF = (3/4)(1/2)四面体ACBD = (3/8)(√3/4)4^2 = (3/2)√3.
よって、AH = 四面体ACEF/{ (1/6)(△CEF) } = (3/2)√3/{ (1/6)(3/2)√19 } = (6/19)√57.

この回答へのお礼

早速の解説ありがとうございます。説明文中の→の記号は多分ベクトルだと思うのですが、私は文系専攻(３年)でベクトルは習っていないので理解できません。ベクトルを使わない解き方で教えていただけますか？

お礼日時：2020/06/21 12:59

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/06/21 09:50

直接AEを求めるのではなく、A-CEFの体積から高さAHを求めます。

底面△CEF×高さAH×1/3=A-CEFの体積　の方程式を立てます。
A-CEF=A-BCD×(AE/AB)×(AC/AC)×(AF/AD)　で求まります。

ところで、△CEFの面積が違っているように思えます。