台形の体積

台形の体積の求め方を教えて下さい。
底面積（a1×a2）、上面積（b1×b2）、高さｈ、勾配1:1とする場合の体積の求め方。
勾配が変わった場合はどうなるのか。
また、オペリスク公式とは何か教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2001/11/06 21:44

S=h/3*{a1a2+b1b2+sqrt(a1a2+b1b2)}っていうのなら、

四角錐のうち、底面に平行な平面で小さな四角錐を切り取ってできる図形（塾の授業では「四角錐台」と呼んでいました）では、相似を使って簡単に示せます。
（以下、切り取った四角錐を（小）、（小）を乗せてもとの四角錐を復活させたものを（大）と呼びます）

（大）と（小）は、頂点を相似の中心とする相似の位置にあり、相似比はa:b（体積比はa^3:b^3）
よって、（小）の高さは、h*{a/(b-a)}であり、求める四角錐台の体積は（小）×{(b^3-a^3)/a^3}となることから、ちょいと計算すればできるはずです。

ところで、私はよく知りませんが、ここでいう「勾配」ってなんでしょうか？そもそも考えられている立体の４本の脚を伸ばすと１点で交わるのでしょうか？（つまり四角錐を切断した形なのか否か？）

No.6 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/11/08 11:24

＞そもそも考えられている立体の４本の脚を伸ばすと１点で交わるのでしょうか？

＞（つまり四角錐を切断した形なのか否か？）

いわゆる「屋根型」の上を切った形もあり、ということでしょうね・・。
こういう場合は、切断して計算すればいいのでしょうが。

No.4 回答者： nanashisan 回答日時： 2001/11/06 17:43

導きたいなら、水平断面を高さで積分でしょうか。

　h
∫(((b1-a1)/h)*z+a1)(((b2-a2)/h)*z+a2)dz
　0

No.3 回答者： martha3 回答日時： 2001/11/06 14:12

それは　方光体　といいます

　参考URLに　公式が　載っています

　　http://www.forming.co.jp/database/taiseki/volume …

参考URL：http://www.forming.co.jp/database/taiseki/volume …

この回答へのお礼

方光体とは初めて聞きました。
また、それらの公式が数学関係のHPではなく、精密機械加工業者で公開されているとは、目から鱗とはこのことですね。
どうも有難うございました。

お礼日時：2001/11/06 15:52

No.2 回答者： nanashisan 回答日時： 2001/11/06 12:57

＞四角錐の上の部分がない立方体

なんて書いたらもう一回突っ込まれますよ。(わら
四角錐の上の部分がない立体でいいなら、四角錐からない部分を引いたらどうですか？

この回答への補足

ホントに笑われると思いますが、
S=h*1/3*{a1a2+b1b2+√(a1a2+b1b2)}又は
S=h*1/6*{(2a2+b2)a1+(2b2+a2)b1}で体積（オペリスク公式？）を求めているのを見たのですが、それの導き方が判らないので知っている方（公式についても）は教えてください。

補足日時：2001/11/06 13:54

No.1 回答者： martha3 回答日時： 2001/11/06 11:55

　台形って　平面で　立体じゃ　ないでしょ?

この回答への補足

説明が悪くて済みません。
正確な名称は判りませんが、四角錐の上の部分がない立方体、つまり四角柱で底面から上面へ傾斜している（底面積、上面積が違う）立体の体積の求め方です。

補足日時：2001/11/06 12:31