行列と漸化式

空欄に入る数字を教えてください。αｎとβｎのｎは下付きです。

A＝［３　１］のとき、A＾ｎ＝［αｎ　βｎ］となる。
　　 1 3 βｎ　αｎ

ただし、αｎ＝□＾n-1＋□・□＾n-1
　　　　βｎ＝－□＾n-1＋□・□＾n-1

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/07 14:42

質問文の行列が位置ずれで読みにくいのだけれど、

α[n]=3α[n-1]+β[n-1],
β[n]=α[n-1]＋3β[n-1]　みたいですよ。　→No.1

α[n]+β[n] = 4(α[n-1] + β[n-1]),
α[n]-β[n] = 2(α[n-1] - β[n-1])　なので、
等比数列
α[n]+β[n] = (α[1] + β[1]) 4^(n-1)
α[n]-β[n] = (α[1] - β[1]) 2^(n-1)　が判ります。
よって、
α[n] = { (α[1] + β[1]) 4^(n-1) + (α[1] - β[1]) 2^(n-1) }/2
　　= { (3 + 1) 4^(n-1) + (3 - 1) 2^(n-1) }/2
　　= 2・4^(n-1) + 2^(n-1),
β[n] = { (α[1] + β[1]) 4^(n-1) - (α[1] - β[1]) 2^(n-1) }/2
　　= { (3 + 1) 4^(n-1) - (3 - 1) 2^(n-1) }/2
　　= 2・4^(n-1) - 2^(n-1).

解答欄から見ると、
α[n] = 2^(n-1) + 2・4^(n-1),
β[n] = -2^(n-1) + 2・4^(n-1).
と書くべきなのかな。
穴埋め式って、そういうとこがキライなんだけど。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/07/07 16:09

#2さんへ

その通りでした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/07/07 14:01

a[n]=3a[n-1]+b[n-1]・・・・①

b[n]=a[n-1]-3b[n-1]・・・・②

a[1]=3, b[1]=1だから
➀+②
a[n]+b[n]=4(a[n-1]+b[n-1]) → a[n]+b[n]=(a[1]+b[1])4ⁿ⁻¹ → a[n]+b[n]=4ⁿ・・・・③
➀-②
a[n]-b[n]=2(a[n-1]-b[n-1]) → a[n]-b[n]=(a[1]-b[1])2ⁿ⁻¹ → a[n]-b[n]=2ⁿ・・・・④

➂④を解いて
a[n]=2・4ⁿ⁻¹+2ⁿ⁻¹
b[n]=2・4ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻¹