高3理系女子です。

放物線y=a(1-x^2) (a>0) とx軸とで囲まれる範囲内にあり、原点でx軸に接する円の半径の最大値を求めよ

解けたかもしれないけど微分して最大値調べる関数がめっちゃ汚くなりました

質問者からの補足コメント

• 2ab^2+2a(1-a^3)b-4ab√2ab+2a^2-1/2
  になりました。
  
  円: x^2+(y-b)^2=r^2

    補足日時：2020/07/23 11:21

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 06:21

a>0

y=a(1-x^2)…(1)
原点でx軸に接する円の半径をrとすると
x^2+(y-r)^2=r^2
これと(1)の交点を(x,y)とすると
x^2=2ry-y^2
a{1-(2ry-y^2)}=y
a(1-2ry+y^2)=y
ay^2-2ary+a=y
ay^2-(2ar+1)y+a=0
このyの2次方程式の
判別式=0
(2ar+1)^2-4a^2=0
(2ar+1-2a)(2ar+1+2a)=0
2ar+1+2a>0だから
2ar+1-2a=0
2ar=2a-1
r=(2a-1)/(2a)
r=1-1/(2a)
となる時
(1)と円は接する
ただしその時
ay^2-(2a{(2a-1)/(2a)}+1)y+a=0
ay^2-2ay+a=0
y^2-2y+1=0
(y-1)^2=0
y=1
1=a(1-x^2)
1/a=1-x^2
0≦x^2=1-1/a
1/a≦1
1≦a
だから
a≧1の時
r=1-1/(2a)
となる
a<1の時は
y=a(1-x^2)≦aだから接点のy座標は
y=aとなるから
aa^2-(2ar+1)a+a=0
a^2-2ar=0
a-2r=0
a=2r
r=a/2
∴
a≧1の時
r=1-1/(2a)
a<1の時
r=a/2

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/07/25 10:22

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/24 06:07

y=a(1-x^2)

と
x^2+(y-r)^2=r^2
の交点を考える場合
xについての4次方程式になるので
yについての2次方程式にしましょう

a>0
y=a(1-x^2)…(1)
原点でx軸に接する円の半径をrとすると
x^2+(y-r)^2=r^2
↓両辺から(y-r)^2を引くと
x^2=2ry-y^2
↓これを(1)のx^2に代入すると
a{1-(2ry-y^2)}=y
a(1-2ry+y^2)=y
ay^2-2ary+a=y
↓両辺からyを引くと
ay^2-(2ar+1)y+a=0
接するのだからこのyの2次方程式の
判別式
(2ar+1)^2-4a^2=0

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/23 23:32

え? y=a(1-x^2) と x^2+(y-r)^2 = r^2 の交点を考えればいいわけだから, 四次方程式にはしなくていいと思うんだけど....

どうやって四次方程式を出した?

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/23 19:15

タイトルは質問内容に関係するものにしよう.

その式は何を表しているのでしょうか? そして「√2」以降はどこまでがルートの中に入っている?

まあ自分だったら判別式使うだろうから, 微分はどこにも出てこないんだけど....

この回答へのお礼

判別式使うと四次方程式になるからむりだとおもいます

お礼日時：2020/07/23 23:25

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/23 12:02

なぜ、その式に b が残っているのだろう？

＞ 原点でx軸に接する円
なので、b = r ですよね？

この回答へのお礼

でした!!

お礼日時：2020/07/23 12:15

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/23 10:07

そうですか、たいへんでしたね。

おつかれさま。
答案を補足に書けば、そのめっちゃ汚い式があってるかどうかコメントしますよ。