ミクロ経済学 y＝F(K,L)=K^aL^1-a 賃金率w、資本賃貸率r、生産物価格pが与えられたと

ミクロ経済学

y＝F(K,L)=K^aL^1-a
賃金率w、資本賃貸率r、生産物価格pが与えられたときの最適労働投入量、最適資本投入量がどうしても導き出せません、、、。

どうすればよいのでしょうか。。

No.6 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/24 09:46

規模に関する一定の2要素モデルで分かりにくかったら、規模に関する一定の1要素モデルで考えてみたらよい。

考え方はまったく同じ。たとえば、ある財Yが労働YLだけの投入で生産されるとしたとき、規模に関して一定なら生産関数は
Y=aL
と書ける（規模に関して一定であることを確かめよ）。aは定数（労働係数の逆数）。いま、この企業は生産物市場でも、労働市場でもプライステイカーであるとき、ｐ（生産物価格）とｗ(賃金）はこの企業にとっては与えられている。利潤Πは
Π＝ｐY-ｗL=ｐY-w(Y/a)=(p - w/a)Y
となる。よって、最適の（つまり利潤最大化の）生産量は
p<w/aなら、Y=0　（生産がプラスなら赤字なので、生産ゼロが最適）
P=w/aなら、Yは不決定（Yはいかなる非負の値であっても、Π＝０）
p>w/aなら、利潤最大化生産量Yは存在しない（つまり、Yは大きいほど、Πはかぎりなく大きくなる）。

したがって、p=w/aのとき、かつそのときにかぎって、正の利潤最大化生産量が存在し、生産量は不決定（いくらでもよい）。ではこのときの最適労働量はいくらか？p=w/aのとき、最適LはL=Y/aと書けるので、最適Lも不決定で、Yがいくら生産されるかによる、ことがわかる。
なお、w/a＝ｃと書けば、規模に関する一定の2要素生産関数との類似性はあきらかでしょう。3要素生産関数であれ、ｎ要素生産関数であれ、規模に関して一定なら、まったく同様の議論が成り立つことは容易に想像がつくでしょう！

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/23 18:34

>②p=cのとき

価格と限界費用が等しいから、どれだけ生産しても利潤はゼロ。よって最適生産量は非負の実数。
→労働投入量はどうやって表しますか？

p=cのとき
利潤はゼロ、すなわち
pY=C

LとKは費用関数を求めるとき得た式にこれを代入し、最適なLとKは
L=(1-a)C/w=(1-a)Y/(w/p)
K=aC/r = aY/(r/p)
と書ける。つまり、ｐとwあるいはｐとｒが与えられても、最適なLあるいはKの投入量は一意には定まらず、産出量Yが定まらないと、定まらない、ということ。もちろん、このことは産出量Yはｐ＝ｃのとき、不決定であるという事実の反映だ。なお、Yの供給曲線はｐを縦軸に、Yを横軸にとったとき、縦軸のｃのところから水平な直線となる、ということはいうまでもない。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/23 04:59

>それによるとc = (r/a)^(1-a) (w/(1-a))^aとなるとおっしゃられていました。

おそらく私の計算ミスなのですが、どうしてもその答えにならないです、、。

あるいは私の、その計算が間違っているかもしれません。ステップ・バイ・ステップで見ていきましょう。
MRTS=((1-a)/a)(K/L）
よって、等量曲線と等費用曲線の接点ではMRTS=w/rより
((1-a)/a)(K/L)=w/r
よって
K=(a/(1-a))(w/r)L　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
となる。これを等費用曲線C=rK+wLに代入し、整理すると
C=wL/(1-a)
つまり
L = C(1-a)/w
を得る。よってこれを(*)に代入すると
K=Ca/r
を得る。これらを生産関数に代入すると
Y=(Ca/r)^a・(C(1-a)/w)^(1-a)=C(a/r)^a・((1-a)/w)^(1-a)
となる。ここまではよろしいか？よって
C=Y(r/a)^a・(w/(1-a))^(1-a)
となる。これが費用関数。よってYにかかる係数のｃは
c=(r/a)^a・(w/(1-a))^(1-a)
となる。あなたの答えはこうなったのですか？「以前に書いたという答え」とくらべると、累乗のところが違っています。こちらのほうが正しいと思うので、以前の回答は計算ミスですね！

この回答へのお礼

ありがとうございます。私も計算したらそうなりた。再度計算してくださりありがとうございます。

続いて本題ですが、規模に関して一定の生産関数、すなわち1次同次の生産関数はこのように費用関数も1次同次性を満たします。企業の利潤最大化条件は価格=限界費用で、ここでは求めたcが限界費用にあたります。pは所与の外生変数ですから、前に仰ってくださったように、3パターンの場合が考えられる。

①p＞cのとき
生産をすればするほど利潤は増加する。よって最適生産量はない。

→よって最適労働投入量もなし。

②p=cのとき
価格と限界費用が等しいから、どれだけ生産しても利潤はゼロ。よって最適生産量は非負の実数。

→労働投入量はどうやって表しますか？

③p＜cのとき
生産をすると赤字になるから、最適生産量は0

→最適労働投入量もゼロ

②p=cのときの最適労働投入量をどう表せばいいですかね？

よろしくお願い致します。

お礼日時：2020/08/23 13:51

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/22 18:22

まだ解けない？苦戦しているのだろうか？最小化問題を代数的に解く前に図形的（グラフ的）にはどうなるか考えておくのは有益だ。

Lを横軸に、Kを縦軸にとると、等費用曲線
C=rK + wL
は、Cを任意の値に固定したとき、縦軸切片がC/rで、傾き-w/rの右下がりの直線だ。Cの値を変えることによって、互いに平行な直線群（等費用曲線群）を描くことができる。一方、生産関数はYを任意の値に固定すると、原点にたいして凸の、右下がりの曲線が一つL-K平面に描かれる。Yの値を変えることによって、互いに交わらない等(生産）量曲線群が描かれる。いま、Yの値を任意の値に固定して等量曲線を一本描くとき、その等量曲線に接する１つの等費用曲線を見つける。そのときの接点（L,K)がYを最小の費用で生産する労働と資本の組を示している。
等量曲線の傾きを技術的限界代替率MRTSと呼び、MRTS＝(∂Y/∂L)/(∂Y/∂K)で与えられる。上でみたように、等費用曲線（直線）の傾きはw/rなので、等量曲線と等費用直線が互いに接する点は

MRTS=w/r

を満たす。この事実を用いて最小化問題を解いてみてください。

この回答へのお礼

返信が遅くなってしまい、大変申し訳ございませんでした。
実はこの質問を投稿する前に先にネットで調べてたら以前こちらのgooで同様の質問をしていらした方がいて、その際にもgootarohanako様が御回答されていて、一連の流れを見てみたのですが、それによるとc = (r/a)^(1-a) (w/(1-a))^aとなるとおっしゃられていました。おそらく私の計算ミスなのですが、どうしてもその答えにならないです、、。

お礼日時：2020/08/22 22:44

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/22 07:49

訂正。

＞No1の

①ｐ>ｃ
②ｐ=ｃ
③P > c

の部分は

①ｐ<ｃ
②ｐ=ｃ
③ P > c

と直してください。(つまり、①の不等号が逆になっていました。）

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/22 04:53

コブダグラス生産関数のような規模に対して一定の生産関数のときはちょっと複雑で、面倒です。

多くの人が躓いています。まず、最小費用を生産量Yの関数としてあらわした費用関数を求めてください。つまり、費用最小化問題

min C=rK+wL
s.t.
Y=K^aL^(1-a)

を解いて、CをYの関数としてあらわす。解は
C=ｃY
の形をしているはず。ｃは生産1単位当たりの費用（平均費用）で、ｒとｗとだけであらわされる。ｃが求まったら場合分けをする。
①ｐ>ｃ
②ｐ=ｃ
③P > c
の３つの場合です。③の場合は解はない。つまり、利潤最大化生産量は無限大。①の場合は利潤最大化生産量は０となる（なぜ？）②の場合は利潤最大化生産量は不決定。いかなる生産量もとでも利潤はゼロということ。
まず、ｃはいくらになるか、最小費用問題を解いて、ｃの値を求めてください。解いていく過程で質問があったら、追加質問をしてください。