正二十面体

正二十面体の頂点の数は１２こで、辺の数は30本だと図を見ればわかるのですが、計算で求める方法はありませんか？

No.6 回答者： poohron 回答日時： 2005/01/30 00:18

正多面体を構成する図形が何角形になるかを求める手段は知らないのですが、

正多面体は5種類しか無いので覚えてしまった方が簡単かもしれません。

四面体・八面体・二十面体は三角形
六面体は四角形
十二面体は五角形
です。

すると、#4さんのご回答の通り二十面体の辺の数は
3×20÷2=30

#1・#2さんのオイラーの多面体の公式から頂点の数は
30-20+2=12

となります。

ちなみに私は、オイラーの多面体の公式を次のように覚えました。（笑）
「辺は帳面に引け」
辺の数（辺）＝（は）頂点の数（帳）+面の数（面）-2（に引け）

蛇足ですが、ご参考に正多面体が5種類しか存在しない証明を参考URLに貼っておきます。

参考URL：http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/mathedu/subjects/ge …

No.5 回答者： oberon 回答日時： 2005/01/29 23:53

２０（面）×３（１つの面の頂点の数）÷

５（１つの頂点を共有する面の数）＝１２

２０（面）×３（１つの面の辺の数）÷
２（１つの辺を共有する面の数）＝３０

No.4 回答者： leige 回答日時： 2005/01/29 23:26

正20面体の1つの辺に2つの面が接していることがわかるので

(1つの面の辺の数)×(全体の面の数)÷2=全体の辺の数
という関係があります。

No.3 回答者： yuma85jp 回答日時： 2005/01/29 23:22

正多面体に関しては、代数的に頂点の数や辺の数を計算する方法はないように思います。

正二十面体の場合、正十二面体を図形的に考えて、そこから求める事は可能ですが…。この方法は質問の意図とは外れるかと思いますので。

とはいえ、正多面体には四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体の５種類しかないことが証明できます。ちょっとした規則を立てて覚えてしまえば、計算する必要もないのではないでしょうか。

No.2 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/01/29 23:16

オイラーの多面体の公式ですね．

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%9D%A2% …

No.1 回答者： kbannai 回答日時： 2005/01/29 23:13

Eulerの多面体の公式というものがあります。

Ｅ－Ｋ＋Ｆ＝２

Ｅ：頂点の数、Ｋ：辺の数、Ｆ：面の数

…でも、２つがわからないと、もう一つは出ませんね。