日出没時の補正量が「経度１度あたり４分」とは微妙に異なる理由

　天文年鑑には、日本の各地における、日出没時と天文薄明継続時間の計算方法（東京との緯度経度差から値を補正する式と定数）が載っています。
　2005年版の小型の奴なら70ページです。

　日出没時の補正量（東京との差）について、経度が１度東に行くと４分早くなることは理解できるのですが、この「４分」が、3.9分だったり4.1分だったりすることがあります。その理由が理解できません。
　これは何故なのか、教えて頂けますか。

　また同様に、天文薄明継続時間も、経度１度につき0.1～0.3分の補正があります。これの理由も理解できませんので、教えて頂けますか。

　なお、４分という時刻の差（から来る地球の位置の差）に伴う、日出没時刻の変化や、均時差の変化（例えば12月21日18:00と同日18:04との均時差の違い）は考えたのですが、それだけでは分量的に説明できそうにありません。

No.13 回答者： eria77 回答日時： 2005/02/08 00:56

>具体的には、楕円であると、どのような仕組みで出没時が変わるのでしょうか。

日の出日の入り時刻の求め方ですが、
回転軸からの太陽の角度によって（計算済み）昼、夜の長さ（影の出来方）が変わります。
（日の長さ、３６０-角度）
南中時間と、日の長さ（角度）を計算すれば、
日の出日の入りは案外楽に計算は可能です。

しかし、どうも計算が合致しないのです。
冬至の日の出は、６時４６分。
理論上（円ならば）ここから日が上がるのですが、
更に日の出は遅くなります。
１月８日に６時５０分。
この日は計算では６時４４～３分でなくてはなりませんから、
７分もズレが生じてしまいます。
この計算ズレが、楕円の為に生じます。

記憶に浅いのですが、実際の日の出表、均時差表の比較では、合致したのは４日のみであったと思います。

※冬に、夕方は５時でも明るくなったが、朝はぜんぜん早くならないよ。逆に遅くなってるみたいだ。

こう言う事を聞いた事があると思います。
楕円では、南中時間（中心角度）が偏移するからです。

この回答へのお礼

eria77さん、度々ありがとうございます。

>>具体的には、楕円であると、どのような仕組みで出没時が変わるのでしょうか。

　すみません、端折って書きましたが、「地球の形状あるいは地球軌道が楕円であると、どうして、日出没時の経度による補正係数が3.9や4.1になるのか」という質問です。
　地球軌道が楕円であることに伴い、均時差が生じ、南中時刻や日出没時がお昼と非対称になることは知っています。また、均時差によっては、経度による補正係数が3.9や4.1になることは説明できないと、最初の質問で述べております。

お礼日時：2005/02/08 22:21

No.12 回答者： eria77 回答日時： 2005/02/07 21:52

地球が楕円である為。

これが殆どでしょう。
更に公転軌道が楕円の為、
それに伴い、黄道と太陽位置が微妙に狂う為です。

真円の場合は、プログラムが合致します。
合致しないのは、楕円の部分です。
つまり、夏至→冬至の間は楕円遠点が来る事がわかります。
冬至が一番日の出が遅いはずですが、実際には、１月８日頃が一番遅くなります。

実際には、地球の楕円を補正し、楕円で公転計算し、
黄道、実際の太陽位置を補正して、ようやく日の出日の入りは計算が開始出来る事になります。

楕円の指摘を期待していたのですが、逆に円軌道で計算された方がおりまして、非常に悲しくなってしまいました。

この回答への補足

　すみません、お礼の訂正です。「補足」しか書き込みができないようですので、ここに書きました。

>均時差のためでは

　地球の軌道が楕円であることも説明されてましたね。均時差は、軌道が楕円であるために生じますので、同じことですね。失礼しました。

補足日時：2005/02/07 23:13

この回答へのお礼

>地球が楕円である為

　具体的には、楕円であると、どのような仕組みで出没時が変わるのでしょうか。

>冬至が一番日の出が遅いはずですが

　これは、地球が楕円であるためではなく、均時差のためでは？

お礼日時：2005/02/07 23:10

No.11 回答者： takug 回答日時： 2005/02/07 21:35

質問者の方のご指摘の「天文年鑑P70・日本の日出没時と月出没時」では、日出没時を簡単に算出するための計算式の経度差に乗ずる係数が4.1分だったり3.9分だったりと、なるほど奇妙な数値が現れていますね。

ご質問を読んで初めてその数値が奇妙であることに気が付きました。　私はこの問題の専門家ではありませんが、次のように考えてみました。

地球を照らす太陽による明暗境界線は、太陽が遠いのでほぼ大円です。
地球上の特定の点における日出没は地球の自転に伴ってその地点が明暗境界線を通過するときに起こるのですから地球の自転角速度がほぼ4分間で経度で１度である以上、２地点の日出没時刻差は経度差１度につき４分の割合であるというのがまず基本です。問題はこの基本からのズレの要因です。

太陽が赤道の真上にある春分・秋分の頃には、この大円は両極を結ぶ経度線にほぼ平行になりますので、同じ経度の二地点では緯度とは無関係に同時に日の出を迎えることになります。このことは当該の日出没時刻表の春分・秋分前後のあたりを見れば、経度に対する係数が4.0分、緯度に対する係数が０分となっていることからも確かめられます。

しかし、例えば１月１日の日の出時刻では、基準位置である東京との経度差に乗ずる係数は4.1分、緯度差に乗ずる係数は-3分と表記されているわけです。問題はその理由ですね。
この頃は冬至に近いので太陽は南半球の上空にあり明暗境界線の大円は経度線に対して傾いています。この傾きがあるために２地点が同経度でも緯度が違えば日の出時刻の違いが生み出されます。ですから簡単にいうと、緯度差に乗ずる係数が-3分というのはこの傾きを表しています。そして乗ずる係数が一個だけというのは一次式による補正を示しているわけです。

ところで明暗境界線の大円はその形状を平面の世界地図の上に投影したらサインカーブのような曲線を描くことからも判るように、直線ではありません。日本付近の一部分だけを見ても厳密には曲線です。したがって、一次式による近似はあまりよい近似ではありません。

この近似をもっと精密にするにはどうしたらよいか。
いくつか方法があります。まず考えるのは、基準値との緯度差に対する補正式を多項式にすることだと思います。明暗境界線の形状の厳密式は sin や cos の登場する複雑な式ですが、近似の目的なら二次式か三次式程度で十分なのではないでしょうか。したがってその場合、経度差に対する係数は常に４分を用い、緯度差に対しては補正式の係数を２個か３個掲げた日出没時表が作成されると思うのです。これは理科年表の太陽出入表が採用している方法です。

しかし、天文年鑑の編集者は異なる方策を選んだようなのです。以下は私の推測です。

日本列島の形は北東-南西方向に弧状を描いています。中でも日出没時表の基準位置である東京より北東の部分である東北地方や北海道は、北東というよりほぼ真北の方向に存在します。
したがって、北東日本で日の出時刻を知るために表を使う場合を考えますと、東京の日の出時刻に対する補正量は経度差に対する1度あたり4分だけでなく緯度差にも大きく依存します。そこで、明暗境界線の形状を近似する緯度差に対する一次式の係数として、北東日本地域での形状を近似する係数を採用してしまいます。あくまでも「北東日本地域」での形状を近似する係数です。それが１月１日の日の出時刻欄の緯度差に対する係数の-3分です。

次に南西日本について考えます。明暗境界線の大円を地図に投影したサインカーブを考えていただくと判るとおり、このカーブが経度線となす角度は、赤道に近いほど小さくなります。ですから緯度差に対する係数の-3分をそのまま南西日本に適用すると、もともと北東日本用の係数ですから過剰補正となり、誤差が大きくなりすぎます。（私の大雑把な計算ではこの時期ならば-2.4分程度が適正ではないでしょうか）
しかし、南西日本が東京から見て西南西方向の細長い列島形状であることを考慮すると、南西日本のある地点の東京との緯度差と、東京との経度差とはある程度比例すると考えられます。すると、先ほどの-3分という数値を南西日本に適用した場合の誤差分は、経度差を利用して補正ができるということです。その補正分が4.1分や3.9分という値として日出没時表に現れていると考えられます。
実際、南西日本が一直線で、東京との緯度差・経度差の比例定数が 1:6 ならば、-2.4分の代わりに-3分を採用したために生じる-0.6分の過剰補正は、4分の代わりに4.1分を採用することで帳消しにできるわけですから。
そして、4分ではなく4.1分が使われていることは、先ほど述べたとおり北東日本部分での近似には悪影響は及ぼしていないと言えるのでその点では問題ありません。したがって事実上、２本の折れ線による近似が完成したことになります。

長々と書いてしまいましたが、質問者への回答を一言でまとめると、「明暗境界線の日本付近での折れ線近似を日本列島の折れ線形状を利用して行っているから」となります。

この方法は列島の地理形状を利用した極めて巧妙な近似方法だという気がしますが限界はあるようで、北海道から九州の範囲内はよいのですが、沖縄地方は南方に位置していますので緯度差が大きく、経度差を利用した補正が十分に効きません。したがって誤差が大きいです。
おそらくこの方法は電卓やパソコンなどの普及以前の、個人の計算力が限られていた時代に開発され、便利に使われていたのではないでしょうか。現代では二次または三次の近似式の係数を表で与えて緯度差に対する補正に用い、経度差に対しては1度あたり４分を固定的に用いるのが妥当ではないかと個人的には思います。

この回答へのお礼

>折れ線近似を日本列島の折れ線形状を利用

　面白い考え方ですね。一理あると思いますし、数値的に一致しているというのが、何より説得力があります。
　しかし、それなら、緯度による換算係数を、東京以北と以南とで分けた方が単純ではないか、という疑問もあります。それに、列島から離れたら駄目とか、説明があっても良いはずですね。なんとなく、釈然としないと言いますか、「これが本当だったらやだな」という感じでしょうか（失礼 ^^;)。

お礼日時：2005/02/07 23:08

No.10 回答者： puni2 回答日時： 2005/02/07 03:21

この式が載っているのは，理科年表ではなく天文年鑑ですね。

理科年表でも，任意の地点（日本付近）の経緯度から太陽・月の出没時刻を求める補正表が載っていますが（2005年版では43ページ），こちらは（太陽に関しては）きれいに1°あたり4minで計算されています。
（というか，日々補正値が記されている天文年鑑と異なり，太陽の位置にかかわらず一つの表で補正しようとしているのだから，当たり前かも。）

天文年鑑で，「日本の日出没時と月出没時」の項の担当者の所属を見ると，海上保安庁海洋情報部となっていますし，No.8でご紹介の本の著者（暦計算研究会）も基本的には海上保安庁水路部のスタッフだったと思いますので，問い合わせをするなら，海上保安庁かも知れません。

でも，ここに書いていただいたおかげで，私も初めてこの問題を知りました。
（実は，30年も天文年鑑を眺めていて，初めて気づきました。東京在住なので，あまりあの式を使わないできたせいもあるかもしれませんが…）

>gooに書けば、回答を他の人も見られること。
これって，まさにこの種の掲示板の存在意義ですよね。

今日，日曜出勤したついでに，職場から『新こよみ便利帳』『天体位置表』`Astronomical Almanac'（英米暦）などを持ってきました。
私ももうちょっと考えてみたいので，もうしばらく締め切らずにおいていただけるとありがたいです。

No.7へのお礼：
>全てを正確に理解するのは難しいですね。
同感です。

この回答へのお礼

>理科年表、太陽の位置にかかわらず一つの表

　これだと、4.0だと主張しているとはいえませんねぇ。

>担当者の所属を見ると，海上保安庁海洋情報部

　なるほど。そこまでは見ませんでした。日出没時刻関係では、海上保安庁があちこちに登場しますね。眼高差4.7mは船の甲板の高さだとか・・・。

>もうしばらく締め切らずに

　はい。自分の撮影で必要としている時刻については計算ができそうですが、まだ疑問は解決していませんので。
　薄明継続時間の方も、できましたらよろしくお願いします。

お礼日時：2005/02/07 20:20

No.9 回答者： meineko 回答日時： 2005/02/04 11:42

自分の頭で考えるのは、大切なことですが、

ここは、理科年表に載っている式なのですから、編纂元の国立天文台へ問い合わせをしてしまうと言う、方法も考えられます。

この回答へのお礼

　meinekoさん、度々ありがとうございます。

　天文台への質問も考えたのですが、次の理由から、ここに先に質問を出しました。

　天文台は仕事でやっているため、質問を投げたら誰かが必ず答えなければならないこと（といいつつ、つまらない質問を投げたこともあるんですが ^^;）。一方。gooなら、答えたい人が答えれば済むこと（gooで回答する人が暇人だと考えている訳ではないんですが ^^;)。
　gooの「教えて」コーナーは、最近知人から教えてもらったのですが、他の「知恵袋」等と比べてとても質が高く、良い回答が期待できること。
　gooに書けば、回答を他の人も見られること。
　gooに質問を書いてみたかった（これが本音かも）。

お礼日時：2005/02/04 21:32

No.8 回答者： sunspot_number 回答日時： 2005/02/04 01:22

なかなか興味深いご質問ですね。

暦計算研究会編「新こよみ便利帳 ver.1.2」恒星社厚生閣　の II太陽 の 1.太陽正中時及び出没時
ページで言いますと33ページに「近傍での出没時」という囲み記事に算出式が載っています。
一部を引用しますと、

--------------------< 引用開始 >---------------------
緯度φ，経度λでの天体の出没時を知って緯度φ＋Δφ，経度λ＋Δλでの出没時を求めたいこ
とがしばしばある．
　φ，λでの出没時をTとし，φ＋Δφ，λ＋Δλでの出没時をT＋ΔTとすると，
　ΔT=3m.989(Δh-Δλ)
となる。ここでΔh，Δλは度単位で表したもので，ΔTは分単位で求まる．
　Δh=Δφ tanδ cosec h sec2 φ (1+0.01745Δφ tanφ)　によってΔhは得られるが，δは天体の赤
緯，hは天体の時角であって，δを知っている場合(イ)と，知らない場合(ロ)とで計算法は
それぞれ次のようになる．
--------------------< 引用終了 >---------------------

肝心な部分だけ引用しました。度が過ぎて私の創作した文章の量より多くなるとそれは無断転載になり著作権の侵害になりますので。
図書館で借りるか、価値を認めたらぜひ本屋さんで買って下さい。
世界中の地点に対応したN88-BASICで書かれた日出没時刻計算プログラムも載っています。サイズは80行ほどです。

補足：
　3m.989は時間の3.989分のことです。
　Δh=Δφ tanδ cosec h sec2 φ (1+0.01745Δφ tanφ)　は判り易く書きなおすと、
　Δh=Δφ * tan(δ) * cosec(h) * sec(φ)^2 * (1 + 0.01745 * Δφ * tan(φ))　の意味です。
※「*」は乗算、「^」はべき乗、「tan()」は正接関数、「cosec()」は余割関数、「sec()」は正割関数をそれぞれ表す。

これから見えて来そうですね。
と言っても私は今日は眠いので失礼します。
締め切りがまだ先でしたら私も説明が書けるかもしれませんが、他の方に期待します。

余談ですが、
あと似たような式で表す星食予報のaとbについては、計算方法が海上保安庁から毎年発行される「天体位置表」に載っています。

天文年鑑他の星食予報で接食になるような星食ですと係数a,bが載っていないので自分の住んでる所の計算が出来なくて残念（くやしい）ですが、天体位置表のベッセル要素データを基に計算すれば星が隠れるのか否かや経路が作図できます。
といってもいまどき自分で計算せずに皆さんシミュレーションソフトで確認しますよね。(^^;

この回答へのお礼

　ごつい式が出てきましたね。ありがとうございます。

　3.989をかけているのは、恒星時から太陽時への変換ですね。つまり、この式で前提にしているのは、恒星時で動くもの（太陽以外のたいていのもの）なので、太陽は無用に動いているということですね。Δλにも3.989をかけて（4.000じゃなくて）良いのかなぁ・・・。

> Δh=Δφ tanδ cosec h sec2 φ (1+0.01745Δφ tanφ)
　この式の意味を理解するのは、かなり大変そうです(^^;)。
　ちょっと見てわかるのは、tanδというのがあり、天体の赤緯に関係があるということくらいですね。太陽が南にあると、Δhは・・・あー、後で落ち着いて考えます。

> 新こよみ便利帳
　本屋さんを何件か回りましたが、ありませんでした。オンラインで注文しても何日かかかりそうですので、近くの天文ショップにあった「天文の計算教室」という本を買ってきました。
　まだ読んでいませんが、日出没時刻の計算方法が載っています。ΔTの話はなさそうです。
　N88-BASICは得意中の得意ですので（年がばれますね）、新こよみ便利帳も入手したいと思います。

お礼日時：2005/02/04 21:12

No.7 回答者： eria77 回答日時： 2005/02/03 18:04

観測地点の北緯のが高低差がある場合、補正が必要になってきます。

１度の距離が違ってくるのが大きな原因だと思います。
（これとは違うようですね。）

昔プログラムを作成しようとして気付いた点です。

地球は公転していますから、１年を約３６０度で分割して１日で１度公転します。

この事から、日の出、日の入りを計算しようとしたのですが、演算結果は全く合致しませんでした。

真夏の日の入りは殆ど変化は無く、秋の日の入りは一気に遅くなります。

どうも、独特のサインカーブを描いているようです。
南回帰線、北回帰線を頂点としたものです。

つまり、太陽の角度は毎日変わっている。
それに伴う太陽運位置計算が必要である。
更に、北緯補正を行い、
観測地からの正確な角度を出し、
北緯プラス太陽角度の距離を計算しなくてはならない。

単純に、太陽の角度によって北緯が変化するのと同じ現象が起きる。
その為１度の補正が４分に分割割出来ない理由では？

この回答へのお礼

　アドバイスありがとうございます。
　全てを正確に理解するのは難しいですね。

　余談ですが、eria77さん、新谷かおる先生のファンですか(^^;)。「88」だったら、コミック全巻とＬＤを持っているのですが。見当違いでしたら失礼。

お礼日時：2005/02/03 21:21

No.6 回答者： puni2 回答日時： 2005/02/03 18:00

No.5さん：

>自転の他に、好転（公転）の影響、太陽の視位置がかわるということではないでしょうか？

計算してみました。
太陽～地球間の距離はほぼ1天文単位，149597870km。
経度1°の長さは，緯度によって異なりますが，赤道上で111.319km，東京付近では北緯35.7°なので，111.319×cos35.7°＝90.400km（球体と見なせば）。
とすると，経度差1°に対する視差は，arctan(90.4÷149597870)＝0.124″となり，ほとんど無視できるオーダーのようです。

ちょっと検算。
理科年表には，月の赤道地平視差の値が（毎日）掲載されていますが，こちらは大体1°前後です。
これとおおまかに比べてみます。
太陽～地球間の距離は月～地球間の約400倍。
はさむ長さは，地球の赤道半径（6400km）の0.015倍。
したがって，視差は1°×（400分の1）×0.015＝0.14″程度となり，さきほどの数値で大体合っていそうです。

あ，そういう意味ではなくて，A地点での日の出時刻と，そこからx°東にある地点での日の出時刻との間で，地球が公転軌道上を進むことによる，太陽の視位置の変化，ということか。

それならば，そちらも試してみましょうか。
経度1°ずれるごとに，日の出の時刻は4min（＝1日の360分の1）ずれるわけですから，その間に太陽は黄道上を，1°の360分の1だけ動きます。
そうすると，元の位置にあったときに比べて，日の出・日の入りの時刻は，1日の「360の2乗」分の1の時間だけずれることになるので，結局「4min×（360分の1）」＝「3分の2」sだけずれることになります。
0.1min（＝6s）に比べると10分の1ですので，無視はできない量かもしれませんが，これが主要因ではなさそうです。
（あわてて計算したので，合ってるかどうか自信ありませんが…）

あれでもない，これでもないと消去法ばかり続いて，じゃあ何なんだと文句を言われそうですが（自分でも自分に言いたい），なかなか決定打が見つからず，申し訳ないです。

この回答へのお礼

meinekoさん、puni2さん、まとレスで失礼ですが、ありがとうございます。
>経度1°の長さは90.400km
　90.400km離れた地点でも、日出没時には４分（4.1分!?）経過して、空間的に同じ場所に来ている訳ですので、関係ないように思います。

>地球が公転軌道上を進むことによる，太陽の視位置の変化
　これは、太陽と恒星との位置関係を論ずる時には重要ですが、日出没時の議論は太陽時で考えますので、視位置は変化しないと考えて良いのではないでしょうか（均時差は別ですが、これで説明できないことは既述です）。

お礼日時：2005/02/03 21:16

No.5 回答者： meineko 回答日時： 2005/02/03 16:38

まじめに計算とかして確かめてませんが、自転の他に、好転の影響、太陽の視位置がかわるということではないでしょうか？

No.4 回答者： puni2 回答日時： 2005/02/03 02:35

前の回答を書いた後，すぐに続きを書けるだろうと思ったのですが，なかなかどうして，手強い相手でした。

実力不足を痛感しました。

まず，そもそもa=4.1では大きすぎないか，という疑問が生じました。
4.1min/°の割合で，日の出の時刻が早まるのなら，東へ一周すれば4.1×360＝1476（分）＝24時間36分，つまり昨日の同地点の日の出は今日よりも36分前だった，ということになります。
四捨五入を考慮して半分に減らしても，1日で18分というのはちょっと大きすぎます。

たまたま，手元の『日の出・日の入りの計算』という本に，2000年1月1日の日の出の時刻が，6時00分，10分，…，7時30分になる地点の経緯度の表が載っていたので，それを用いてちょっと同様の計算をしてみました。
たとえば北緯36°の場合，
6時00分となるのは東経152.602°の地点。
7時30分となるのは東経130.110°の地点。
これよりaを算出すると，90÷（152.602－130.110）＝4.00142…
四捨五入しても4.1には届きません。（天文年鑑では，冬の間，日出のa=4.1，日没は3.9が続いていますね）
これを360倍すると，1440.512…となり，前日より0.5分程度の遅れとなります。
時期的には，日出の時刻の極値となる1月上旬の直前ですので，0.5分のズレでも大きいかなという気もしますが，36分よりはかなりよさそうです。

何か大きな見落としをしているのでしょうか。
それとも，単に2次以降の項を省略したためでしょうか。そんなに難しい話ではなさそうな気もするのですが。
太陽・月とも，赤緯が低いと日出・月出のaが大きく，没のaは小さくなり，赤緯が高くなるとその逆，というきれいな規則性を見せていますので，何かきちんとした理由があるように思われます。

なお，月の表で，aの範囲が4.0～4.3となって，太陽よりも大きい方にシフトしているのは，「４分という時刻の差（から来る地球の位置の差）に伴う、月出没時刻の変化」が加わっているためだろうと思われます。
おおざっぱに見積もって，月の出没は1日で50分程度早まりますので，その360分の1というとだいたい0.14程度，太陽の出没のaに上乗せされる計算になりますので。

あれこれ書いたあげく，結局お役に立てず申し訳ありません。
ここからはどなたか専門家にかわっていただこうと思います。

この回答へのお礼

>同様の計算をしてみました
　お手数おかけします。
　「4.1が必ずしも正しくない」という目も出てきましたね。

>赤緯が低いと日出・月出のaが大きく
　ここにヒントがありそうです。地球儀のある所に行って、また考えてみます。
　月の方はあまり見ていなかったのですが、日出没時への上乗せについては、「月出没時の差の変化が加わる」ことで説明できそうですね。

>東へ一周すれば4.1×360
　おそらく日本の範囲内で実用になる近似式でしょうから、これが合わなくても仕方ないでしょう（釈迦に説法ですが^^;）。

お礼日時：2005/02/03 21:03