数学的帰納法の根本的な疑問なんですけど、 なぜn＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立ったら

数学的帰納法の根本的な疑問なんですけど、


なぜn＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立ったら、n＝1の時に加えて、全ての自然数nで命題が成り立つことが証明されるんですか？


質問内容が抽象的ですいません、、

質問者からの補足コメント

• すみません

    補足日時：2020/11/07 15:32

• 補足

  
    補足日時：2020/11/07 15:34

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/07 17:13

>>n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立・・・

ｋに具体的な数を代入しながら考えると解る

k=1の時にはokである事を確認して置く。
k=1の時okなら、k+1=2の時もok。
k=2は1行上でokだった訳から、k+1=3でもokになる
k=3は1行上でokだった訳から、k+1=4でもokになる
k=4は1行上でokだった訳から、k+1=5でもokになる
この操作は無限に続く

だから、全ての整数nでokになるわけ。

この回答へのお礼

たしかに！そうですね！帰納法すごいですそういうことですね！

お礼日時：2020/11/13 21:58

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/08 00:06

「自然数」って, そうなるように作られてるんですよ.

とさらに抽象化して返す.

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/11/07 17:29

その写真に写っている教科書の説明のとおり。

ただそれだけの、当然のこと。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/07 16:36

n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立つ…②

ということが証明されたとします
すると、n＝1の時に成り立つ…①　ことが証明されているなら
②を根拠にk=1として
n=k=1で命題が成り立つから　n=k+1=2のときも成り立つ
ということは言えますよね
①②の組み合わせでn=2でも成り立つことが言えるのです

次は ②を根拠にk=2として
n=k=2で命題が成り立つから　n=k+1=3のときも成り立つ
ということは言えますよね
①②の組み合わせでn=3でも成り立つことが言えるのです


以下ドミノ倒しのように　n=3でなり立つからn=4でも成り立ち
だから　n=5で成り立ち
というように　すべての自然数nについて成り立つことが①②から言えてしまうのです

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/07 15:47

それは簡単.

n=1 で成り立つならn=2で成り立つ。
n=2で成り立つならn=3で成り立つ
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この無限の論理の連鎖が続くから
ありとあらゆる正の整数に対して成立つと言える。