命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真？

Question

命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず
「PならばQ」が真になるのが、納得できません。

よい説明がありましたらお願いします。

boiseweb · Accepted Answer

これはすでに語り尽くされた問いで，この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく，

鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです．

私としては次のように答えておきます．

(1) Pが偽のとき，「PならばQ」は『真になる』のではなく，『真とする』のです．つまり，「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが，数学の世界で合意された約束事です．
(2) なぜそのように定めるのかという理由は，
-- 数学の論理を理論化して形式的に扱えるようにする
-- そのうえで，数学の論理で通常用いられる「ならば」という語と折り合いをつける
ためには『そのように定めるのが都合がよい』からです．
(3) なぜそのように定めると都合がよいのか？ この段階で，いろんな説明が試みられています．でも，それを心底『納得』するには，たぶん，自分自身で数学の論理を扱う経験を重ねることで，「数学の論理とは何か」を洞察できるだけの成熟した理解に達する必要があるでしょう．
(4) （数学以外の文脈で用いられる）日本語の「ならば」とどうやって折り合いをつけるのか？ これは数学というより文学の問題で，前掲の鈴木登志雄氏の書をじっくり読んでください．

Tacosan · Answer

#3 のお礼のところだけど, それは何かを勘違いしています.
「本能寺の変がなかったならば、信長が天下統一してた」に対して「Pが偽なのに、命題の信長天下統一が真になってしまいおかしくないですか？」と書かれていますが, 「仮定が偽のときには条件文そのものが真である」というだけなので「信長が天下統一してた」が真であるか偽であるかについては何一つ言及していませんよ. 「命題の信長天下統一が真になってしまい」があなたの勝手な思い込みであることには注意してください.

本題については, 「文章で書いている」のが問題かもしれないね. 記号で「P→Q」とだけ書いておけばいいのかもしれない.

ta20000005 · Answer

ドモルガンの法則には「条件文の仮定が偽なら真になる」ことは必要ないですよ。だから、特に強い結果から導いているわけではありません。
対偶の方は説明の方便みたいなもんなので。むしろ「逆必ずしも真ならず」と「対偶と元の命題の真偽の一致」を要請すれば仮定が偽の時真にせざるを得ないという方が正しいです。このあたりは「論理学をつくる: 戸田山 和久」を読めばわかると思います。
いずれにせよ「説明」なんで。ちゃんとやるなら数理論理学の本をどうぞになっちゃいますね。

ta20000005 · Answer

あと、対偶と元の命題の真偽が一致することに納得できるのなら。

xを実数として

x=0ならばx^2?-1

は真なので、対偶の

x^2 < -1ならばx≠0

も真。これは仮定が絶対に成り立たないので、仮定が偽なら命題は真としないと困りそうなのはわかると思います。

ta20000005 · Answer

日本語で説明するなら

PならばQである

とは

Pの時必ずQである

って事、つまり、

「Pであって、しかもQでない」ってことは絶対に無い

となる。これは

「Pかつ(Qでない)」でない

だから、ドモルガンの法則から

(Pでない)またはQである

になるので、Pが偽ならば真になる。

hugen · Answer

2<1 ならば　0<2<1
0<2<1 ならば　0<1
0<1 ならば　 0+5<1+5

Tacosan · Answer

それはそうなんだけど, かといって
2 < 1 ならば 2+4 > 1+4
っていわれるとやっぱり困りませんか＞#4.

hugen · Answer

2<1　ならば　2+3<1+3

WiredLogic · Answer

その話が典型例ですが、数学の論理では、日常の論理ならば、論理として成り立たないようなところまで、キチンと定義しておかないといけないので、理解はできるが、納得はできないところが出てくるのは、まぁ、仕方ないと言えば、仕方ないのですが…

こういう説明では、どうでしょうか？

P,Qの成り立つ範囲を表す集合を、A,B として、AがBに含まれる(か一致する)のと、P→Q、は等価。

Pが偽だと、Aは空集合、要するに空っぽ、
で、空集合は、空集合も含めて、どんな集合の部分集合にもなりうるから(これも、まぁ、決めのうちですが)
Qが真でも偽でも、AはBに含まれるので、P→Qは真、

世間で使う言葉を、こういう例に持ち出すのは、不正確だったり、誤解を生んだりする怖れも大きいのですが、
そこをあえて、やってみると、

「明日、お日様が西から昇ったら、お前さんに百万円やるよ」
「輜重輸卒（しちょうゆそつ）が兵隊ならば、ちょうちょ・とんぼも鳥のうち」
　(昔、兵站・補給を軽視していた、日本陸軍で、最前線で戦闘する兵士が、後方で補給任務を担当する兵士をさげすんでいった、戯れ歌)

などは、数学の論理と丸きり同じではありませんが、仮定が破綻してるしているときは、結論は、何を言っても構わない、という点は、共通しているといえるかも。

tsuyoshi2004 · Answer

ＰとＱの相関関係は

１）Ｐ○　Ｑ○
２）Ｐ○　Ｑ×
３）Ｐ×　Ｑ○
４）Ｐ×　Ｑ×
の４通りが考えられます。

「Ｐが○ならＱも○」というのは、１）はあって、２）はないということを意味しているだけです。
従って、３）、４）に関しては何も言及していません。
（「対偶でＱが×ならＰも×」も結果的には意味していますが・・・・）

これを実生活で考えると
「お父さんなら男性」
という命題は真です。
お父さんの対語は日本語としてはお母さんですが、お父さんでない人の全てはお母さんではありません。
子供のいない男性もいますし、子供のいる女性（お母さん）も子供のいない女性もいます。
従って、お父さんではない人の性別は不明です。

命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真？

これはすでに語り尽くされた問いで，この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく，

#3 のお礼のところだけど, それは何かを勘違いしています.

ドモルガンの法則には「条件文の仮定が偽なら真になる」ことは必要ないですよ。

あと、対偶と元の命題の真偽が一致することに納得できるのなら。

日本語で説明するなら

2<1 ならば 0<2<1

それはそうなんだけど, かといって

2<1 ならば 2+3<1+3

ＰとＱの相関関係は

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