カントールの対角線論法について質問です。

カントールの対角線論法について質問です。野矢茂樹著の「無限論の教室」によると、
x0 = 0.1111...
x1 = 0.1011...
x2 = 0.0111...
x3 = 0.1010...
...
のように 0 から 1 までの小数を２進数で列挙して、その対角線を取った 0.1010... の小数点以下の 0 と 1 を逆転させた x = 0.0101... が、列挙したはずの 0 から 1 までの小数のどれにも当てはまらないことから、それは矛盾である。したがって実数を自然数と 1 : 1 に対応させることはできない、としています。

以上は、もし実数が自然数と同じ濃度ならば、という仮定の下でのことなので、実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表したらどうなるのかということを考えています。しかしここでその仮定がないとき、何の仮定もないときに、0 から 1 までの実数を列挙せよと言われたら、やはり上に挙げた x1, x2, x3, ... が生まれると思います。するとやはり対角線論法により矛盾しますが、ここでは仮定がないので仮定を背理法の前提として棄却する訳にはいかず、その矛盾は何の前提もないパラドックスになってしまうように思われます。

私はどこかで間違っているのでしょうか？ ネット上ではこれについての言及は見つけられませんでした。どなたかご存知の方、教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• yahoo! 知恵袋でも同じ質問をしたのですが、回答に適切に対応することができず、聞きたいことを聞きそびれてしまったので、こちらで質問させていただきました。

    補足日時：2023/11/07 04:45

• お礼ではなくこちらに書くべきでしたかね？ まだ慣れないもので…。
  
  回答ありがとうございます。
  私が知りたいのは、「実数が自然数と同じ濃度ならば」という仮定の下で対角線論法を使って、矛盾するよね、だから実数が自然数と同じ濃度ではない、とするところを、仮定なく実数を列挙したらどうなるのか、その場合も対角線論法を使って矛盾になってしまうのではないか、とうことなのですが。それは不可能だということでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/07 07:07

• すみません、お礼欄の訂正です。
  × mtrajcp さんは、決して無限にはたどりつかないと思っているのか、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？
  
  ○ mtrajcp さんは、無限への過程によって無限にたどりつくと思っているのか、決して無限にはたどりつかず、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？

  No.37の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/09 14:04

• 

  すいません。No.43 へのお礼コメントの
  >次に No.35 の回答中の (0.2111… )₃ が列挙した列の中に現れないときについてですが、…
  の段落は、間違いです。No.35 へのお礼コメントで自分で超限順序数の必要性を導いたのでした。
  
  それを受けて、No.35 での 3進数による実数の列挙では、循環節 1... の後に循環節 2... が来るとき、 (0.111...1110222...)₃ のようにすれば、それは (0.111...1111)₃となって循環節 1... を列挙の中に出現させることができると思いました。

  No.43の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/10 07:24

• そろそろ質問を閉じさせていただきたいと思います。
  返信が追いつかなかった回答者の方を含め、付き合っていただきありがとうございます。最初は相手にされないんじゃないかと心配していたのですが、こんなに反響があるとは。ほとんど反対意見でしたけどね。色々やり取りしましたが、パラドックスになるのではという疑念はついに否定されず、疑念を深める結果になりましたが、私としてはそれもまた良しです。
  ではさようなら。

    補足日時：2023/11/13 12:09

No.63 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 09:57

0 から 1 までの実数を自然数に対応する列挙をすることはできないけれども

実数の定義によって実数の存在は保証されているので
対角線論法はできるのです

lim_{n→∞}n=∞は自然数ではない
lim_{n→∞}1/n=0は実数である

無限桁の自然数は存在しないけれども
対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β(f)=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β(f)<1
β(f)の10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β(f)≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

この回答へのお礼

>0 から 1 までの実数を自然数に対応する列挙をすることはできないけれども
>実数の定義によって実数の存在は保証されているので
>対角線論法は使えるのです

いや列挙しなければ対角線論法は使えないはずですが…。（質問文参照）
私には No.61 の回答を理解できませんでしたが、それが正しければ、可能無限では 0 から 1 までの実数を列挙することはできない、だから対角線論法はできない、という論理のどこかに必ず、ほころびがあったり、怪しい点があったりするはずです（つまりその点を突いて対角線論法ができる）。私はその指摘を期待しているのです。

あと私が書いた
>しかしそうすると 0 に 1 を足していった果てにある無限大は自然数ではないのですか？
についてですが、No.60 にあるようにすべての自然数が有限桁なら、ペアノの公理で 0 に有限回 S を適用した数は自然数で、無限回 S を適用した数は自然数ではないことになってしまいます。これはおかしいのではないでしょうか？

お礼日時：2023/11/13 10:24

No.62 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 09:47

0 から 1 までの実数を自然数に対応する列挙をすることはできないけれども

実数の定義によって実数の存在は保証されているので
対角線論法は使えるのです

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β(f)=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β(f)<1
β(f)の10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β(f)≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

この回答へのお礼

回答受付終了からしばらくたってからになってしまい申し訳ないのですが…
No.63 へのコメントで書いた、
>いや列挙しなければ対角線論法は使えないはずですが…。（質問文参照）
は間違いです。代わりに
「No.34 のコメントのように列挙するのはどうなのでしょう。」
に置き換えて下さい。
よろしくお願いします。

お礼日時：2023/11/18 05:21

No.61 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 05:57

無限桁の自然数は存在しないけれども

実数は(有理数のコーシー列の同値類)として
定義されるので

級数
Σ_{n=1～m}b(n)/10^n
が
β
に収束するのです
これは
実数の定義によって保障されているのです

だから
対角線論法は使えるのです

実数が存在することと
実数を列挙することは別の問題です

実数は存在するけれども
全実数を自然数に対応させ列挙することはできないのです

この回答へのお礼

これがこの質問への最終的な回答なのでしょうか。
申し訳ないのですが、私は数学は素人なので、質問文の例で言ってもらいたいのですが。mtrajcp さんの立場である可能無限では 0 から 1 までの実数を列挙することはできない、だから対角線論法はできない、これに対する反駁をお願いしたいのです。それが難しいなら諦めますが。

あと私が書いた
>しかしそうすると 0 に 1 を足していった果てにある無限大は自然数ではないのですか？
についてもお願いしたいです。

お礼日時：2023/11/13 06:28

No.60 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 05:09

自然数は

ペアノの公理によって定義されているのです
ペアノの公理の(数学的帰納法の原理)よって
無限桁の自然数は存在しないことは

1は有限桁の自然数である
ある自然数nが有限桁の自然数ならば
自然数n+1も有限桁の自然数だから
(数学的帰納法の原理)によって
すべての自然数は有限桁である

と証明されているのです

この回答へのお礼

なるほど、そういうことでしたか。
しかしそうすると 0 に 1 を足していった果てにある無限大は自然数ではないのですか？ mtrajcp さんのように無限の果てにある量は一切認めないというのならそれでも良いでしょう。しかしその可能無限の考えを推し進めると、カントールの無限集合論にとっては対角線論法が使えず、困ったことになると思いますが、この点はどう解釈されますか？
実を言うと私はこの数学的帰納法の原理についても以前から疑いを持っている者なのですか…。

お礼日時：2023/11/13 05:29

No.59 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 04:43

自然数は

ペアノの公理によって定義されているのです
ペアノの公理の(数学的帰納法の原理)よって
無限桁の自然数は存在しないことは証明されているのです

かってに自然数の定義をかえないでください

自然数の定義を拡張すれば
それにともない
整数の定義も拡張することになり
整数が加法群でなくなってしまうのです

この回答へのお礼

>ペアノの公理の(数学的帰納法の原理)よって
>無限桁の自然数は存在しないことは証明されているのです

初耳です。どんな証明ですか？ 私のような素人に理解できるように説明お願いできますか。私には関数 S を 0 に対して無限回適用すれば無限桁の自然数ができるように思われますが。

お礼日時：2023/11/13 05:04

No.58 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 20:29

0→0.0

1→0.1
10→0.01
11→0.11
100→0.001
101→0.101
110→0.011
111→0.111
…
は
すべて無限個のすべての有限小数のリストであって
その中に無限小数はありません
なので
0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できていません

無限小数は有限小数のコーシー列の同値類として定義され
存在するのだけれども
無限小数に対応する自然数は存在しないから
リストにはありません

例えば
0.101010101010…
という無限小数があるとすると

それに対応する自然数は
無限桁の自然数になってしまい
無限桁の自然数は存在しないのだから
リストにはありません

この回答へのお礼

ああ、あなたはいわゆる「可能無限」の立場を取っているのでしたね。私は「実無限」の立場を取るので、無限の果てにある、無限桁の自然数も存在すると考えます。

お礼日時：2023/11/12 20:46

No.57 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 20:03

0→0.0

1→0.1
10→0.01
11→0.11
100→0.001
101→0.101
110→0.011
111→0.111
…
は
すべて無限個のすべての有限小数のリストであって
その中に無限小数はありません
なので
0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できていません

この回答へのお礼

これ本当に何度も言いますが、そのリストには小数点以下無限桁までのすべての桁それぞれが 0 か 1 かである組み合わせが列挙されているので、0 から 1 までのすべての実数が列挙されていると私は考えます。

お礼日時：2023/11/12 20:12

No.56 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 16:38

対角線論法の中の

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

は
級数
Σ_{n=1～m}b(n)/10^n
が
β
に
たどり着いたのではありません

級数
Σ_{n=1～m}b(n)/10^n
が
β
に収束するのです
これは
実数の定義(コーシー列の同値類)によって保障されているのです

また
実数を列挙することと
実数が存在することは別の問題なのです

対角線論法では
全部の実数が列挙できるなど前提も仮定もしていません
結果的に全射が存在しないことが証明されるのです

0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できることは
証明されていないので
パラドックスにはなりません

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β(f)=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β(f)<1
β(f)の10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β(f)≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

fのとり方によってβ(f)が変化するのです
g(1)=β(f)
自然数nに対して
g(n+1)=f(n)
と
g:N→J
を定義すると
β(g)≠g(n)
となるのです

この回答へのお礼

>0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できることは
>証明されていないので
>パラドックスにはなりません
No.34 のコメントを読んでください。

お礼日時：2023/11/12 19:42

No.55 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 16:15

対角線論法の中の

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

は
等比級数
Σ_{n=1～m}b(n)/10^n
が
β
に
たどり着いたのではありません

等比級数
Σ_{n=1～m}b(n)/10^n
が
β
に収束するのです
これは
実数の定義によって保障されているのです

また
実数を列挙することと
実数が存在することは別の問題なのです

対角線論法では
全部の実数が列挙できるなど前提も仮定もしていません
結果的に全射が存在しないことが証明されるのです

0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できることは
証明されていないので
パラドックスにはなりません

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β(f)=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β(f)<1
β(f)の10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β(f)≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

fのとり方によってβ(f)が変化するのです
g(1)=β(f)
自然数nに対して
g(n+1)=f(n)
と
g:N→J
を定義すると
β(g)≠g(n)
となるのです

No.54 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 11:19

No.39 へのお礼コメントへの答えを訂正します

「
1ずつ加えても
決して、無限(桁)にはたどりつかず、
無限(∞)への過程における有限(桁)のみが(無限に)ある
」
です