高校数学です！m,nを整数とする。m^2+n^2が3の倍数ならば、mとnはともに3の倍数であることを

高校数学です！m,nを整数とする。m^2+n^2が3の倍数ならば、mとnはともに3の倍数であることを証明せよ。という問題について教えてください。背理法を使うらしいので、対偶の[mかnのどちらかが3の倍数でないならば、m^2+n^2は3の倍数でない]を使うと思うのですが具体的にどうすればいいのか分かりません....どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/02/11 20:51

「m²+n²が3の倍数　⇒　mとnはともに3の倍数」の対偶である「mかnのいずれかが3の倍数ではない　⇒　m²+n²は3の倍数ではない」を示す。

mが3の倍数ではない、つまり、m=3k+1又はm=3k+2（kは整数）のときを考える。

(i) m=3k+1のとき
m²+n²=(3k+1)²+n²
=9k²+6k+1+n²
=3(3k²+2k)+n²+1　※1

ここで、n=3p（pは整数）のとき、n²+1=9p²+1=3(3p²)+1は3の倍数ではない。
n=3p+1のとき、n²+1=9p²+6p+1+1=3(3p²+2p)+2は3の倍数ではない。
n=3p+2のとき、n²+1=9p²+12p+4+1=3(3p²+4p+1)+2は3の倍数ではない。
以上、いずれの場合もn²+1は3の倍数ではないから、※1は3の倍数ではない。

(ii) m=3k+2のとき
m²+n²=(3k+2)²+n²
=9k²+6k+4+n²
=3(3k²+2k)+n²+4　※2

ここで、n=3p（pは整数）のとき、n²+4=9p²+4=3(3p²+1)+1は3の倍数ではない。
n=3p+1のとき、n²+4=9p²+6p+1+4=3(3p²+2p+1)+2は3の倍数ではない。
n=3p+2のとき、n²+4=9p²+12p+4+4=3(3p²+4p+2)+2は3の倍数ではない。
以上、いずれの場合もn²+4は3の倍数ではないから、※2は3の倍数ではない。

以上の(i)、(ii)により、いずれの場合もm²+n²は3の倍数ではないから、題意は示された。

注：3の倍数ではない、ということを、m=3k+1又はm=3k+2と表しましたが、m=3k±1と表してもOKです。
この方が楽かな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/12 21:22

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/12 17:36

対偶は、

m,nが3の倍数でないなら、m^2+n^2 が3の倍数でないから

m=3a±1 ,n=3b±1で背理法で証明すればいい！

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/12 21:23

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/11 20:53

「背理法」という話が出てくるのは、

　　m = 3a + b ただし b∈{0, 1,2}で aは整数
　　n = 3c + d ただし d∈{1,2}で cは整数
のときm^2 + n^2 が3の倍数にならない（3で割った余りが0でない）ことを証明しろって意味ですね。
　で、
　　m^2 = 3(3a^2 + 2ab) + b^2
　　n^2 = 3(3c^2 + 2cd) + d^2
なので、b^2 + d^2 が3の倍数にならないことを言えば良い。だからb,dの組み合わせ6通りについて調べれば良いわけです。

　どうしてmの方だけ3の倍数である（bが0である）場合を考えるのかというと、mとnの役割を入れ替えれば、これで全部の場合を尽くしているからですよ。よーく考えればわかるかな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/12 21:22