電子の運動とジュール熱

長さL, 断面積Aの円柱状の抵抗に電位差Vを加えると, 自由電子は電場から力を受けて運動する. 一方, 抵抗は電子に, その運動と反対向きに抵抗力をもたらす. その抵抗力は平均速度vに比例し, F=αv となる. その結果, 抵抗中で電子は一定の平均速度v0で動き続けて定常電流を流しているとする. ここで, 自由電子は1個あたり電荷－e を持ち, 密度n で分布しているとする. また, 抵抗内部の電場は一様であるとする. このとき1個の電子が単位時間に電場から受け取るエネルギーをα, e, V, L を用いてあらわせ.

導体中の全電子が, 単位時間あたりに電場から得るエネルギーを, α, e, n, A, L, V を用いてあらわせ.

この問題がわからないので教えてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/30 15:09

「電子が電場から受け取るエネルギー」とは「電場による電子の推進力 = 抵抗に逆らって電子を前進させようとする力」に「その力の方向に移動した距離」をかけた「仕事」に相当します。

「単位時間あたりのエネルギー変化 = 単位時間あたりの仕事」は「仕事率」です。

「抵抗力の大きさ」は、電子の速度が v なら、
　F1 = αv　　　　　①

一方、電場の大きさは
　E = V/L
なので、電荷 -e の電子に働くクーロンりょくは
　F2 = -eE = -eV/L　　　　②

従って、電子の動く向きを「正」とすれば、電子1個の質量を m としたときの運動方程式は
　m*dv/dt = |F2| - F1 = eV/L - αv
「平衡状態」に達した終端速度が電子の速度 v0 に相当するので、そのときには dv/dt = 0 になっていることから
　eV/L - α*v0 = 0
→　v0 = eV/(αL)　　　　　③

従って、電子が単位時間に進む距離は v0 になるので、力②が単位時間にする仕事は
　W = |F2| * v0 = (eV/L)^2 /α = (eV)^2 /(αL^2)　　　　　④

これが単位時間に電子１個が受け取ったエネルギーに相当します。


導体の体積は AL で、そこに密度 n で電子が存在するので、導体中の電子の数は
　nAL
従って、単位時間あたりに導体中の全電子が電場から得るエネルギーは
　P = nAL * W = nAL(eV)^2 /(αL^2)
　　　　　　　= nA(eV)^2 /(αL)　　　　⑤


（補足）
このうち、「単位時間に断面積 A を通過する電荷」が「電流」なので、電流は
　A*v0
の体積にある電荷に相当します。
この体積中の電子の数は
　nA*v0 = nAeV/(αL)
なので、これに電荷の大きさをかけた
　I = nAe^2 /(αL)　　　　　⑥
が「電流」に相当します。

これを⑤に代入すれば
　P = VI
という (電力) = (電圧) × (電流) の式になります。
「電力」（ワット）は「単位時間あたりの仕事 = 仕事率」ですから。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/30 12:55

紛らわしいので、電子の平均速度をWとします

平均速度Woで移動する電子1個の1秒（単位時間）の変位はWo・１=Wo
また、これに働く抵抗力は移動とは逆の向きに　F=αWo
ゆえに　抵抗力が電子1個にする仕事は
仕事=Wox(-F)=-αWo²
電子1個が一定速度Woで移動し続けるということは
電子はこの負の仕事の分を打ち消すだけ電場からエネルギーを受け取っている
ゆえに求めるべき仕事は　αWo²
題意ではWoを用いて答えよ　ということでないのでもうひと手間かける
一様な電場Eの中では、電圧Vと電場に平行な変位dを用いて
E=V/dの関係があるので
この抵抗について　E=V/L　が成り立つ
また、電荷が電場から受ける力＝電荷ｘ電場　の関係にあるから
この電場から電子1個が受ける力の大きさはF’は
F’=eE (ベクトル的に考えてはいないので、電子の電荷は絶対値を採用した。F'の向きは電場とは逆向き）
題意から　平均速度で移動している電子1個に働く抵抗力は
F=αWo
F’とFは向きが真逆でこれらが釣り合うので　電子の速度は等速になっているから
eE=αWo
⇔e(V/L)=αWo
⇔Wo=eV/(αL)
よって　αWo²＝α{eV/(αL)}²=e²V²/(αL²)

(2) 電子１こあたりのエネルギー受け取り量が分かっているのだから
自由電子の総数が分かればよい
密度ｎ　より単位体積当たりの電子の個数はn個
この抵抗の体積=底面積x高さ=AL
ゆえに　
この抵抗内の自由電子数＝体積X密度=ALn
このことから　求めるべきは
{e²V²/(αL²)}ALn
約分はご自分で・・・