整数問題・・・

わかりません・・・おしえてください・・できるだけわかりやすく・・くわしく・・・おねがいします・・

２ｘ(2乗)－ｍｎｘ＋ｍ＋ｎ＝０　の解が自然数のとき　自然数ｍ、ｎを求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： konitak 回答日時： 2001/08/20 03:47

まず、問題として、「２解とも」自然数とさせていただきます。

そうじゃ無い場合は、この解答は無視してください。（汗）

実はめちゃくちゃトリッキーなことをします。

まず、ｍとｎは対称なのでｍ≦ｎとします。
また２つの解をａ，ｂとしてａ≦ｂとします。

解と係数の関係よりa+b=mn/2, ab=(m+n)/2
ここで、a+bは整数よりmnは偶数→mとnのどちらかは偶数→m+nも偶数なので結局どちらも偶数
（この問題を解く人ならここまでは来てほしいところ）

よって、m=2m', n=2n'とおきます。(m', n'は正の整数）
→a+b=2m'n', ab=m'+n'（※１）


さて、ここからがトリッキーなのですが
a,bは正の整数より、a≧1, b≧1→(a-1)(b-1)≧0
展開して（※１）を代入するとm'+n'-2m'n'+1≧0
これを（整数問題でよくある式変形をして）
(2m'-1)(2n'-1)≦3
とします。すると、2m'-1, 2n'-1はいずれも正の奇数でm'≦n'より
これを満たすのは(m', n')=(1,1), (1,2)しかありません。

このうち(a,b)も整数となるのは(m', n')=(1,2)の場合のみですから

答えるときは、こちらで勝手に条件にいれたｍ≦ｎの条件もはずして
(m,n)=(2,4), (4,2)のとき、x=1,3

No.1 回答者： taropoo 回答日時： 2001/08/20 01:37

ｍとｎは対称なのでｍ≦ｎとすると

　　　　(m, n) = (1, 9), (1, 11), (2, 4), (3, 7)
の４パターンになりそうです。
（対称性をはずせば８パターン）

バソコンでｍ、ｎをそれぞれ１から１００まで走査して計算させた結果であって、
証明は考えてません。

ご参考までに。