平面の方程式

3つの座標(1,-1,3),(-2,5,9),(-1,2,-1)を通る平面を求めよという問題がうまく出来ません．
途中経過としては、
平面の方程式をAx+By+Cz+D=0として、3つの座標から2つを取り出しベクトルをつくり、そのベクトルと平面の法線の内積が0になるという方程式を3座標の3つの組み合わせ分作成し、連立させて解きました．これによって、法線は求まったのですが、平面と原点の距離Dが定まりません.　
どなたか教えていただけませんでしょうか?

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2005/02/11 21:10

法線が求まったということは、A,B,C(の比)が求まったんですよね？

求める平面上の任意の点(X,Y,Z)は
AX+BY+CZ+D=0
つまり、
D=-(AX+BY+CZ)
を満たします。
A,B,C(の比)が分かっていて、通る点は与えられているので。。。

まぁ、A(x-X)+B(y-Y)+C(z-Z)=0を展開してもいいですが。

あと関係ないですが、
＞3つの座標から2つを取り出しベクトルをつくり、そのベクトルと平面の法線の内積が0になるという方程式を3座標の3つの組み合わせ分作成し、連立させて解きました．

法線を求めるだけなら、このベクトルの外積を求めた方が楽かもしれませんね。

この回答へのお礼

そうですね。平面上の点を代入すれば、それでDの値は求まりますね。ありがとうございます。
ただ、平面上の点を代入すると原点と平面の距離が求まるというのが、図的にしっくりこないんですよね・・・

お礼日時：2005/02/13 11:19

No.2 回答者： springside 回答日時： 2005/02/11 21:13

ん？　3点を通る（含む）平面ですよね。

であれば、ベクトルとか難しいことを考えなくても、「3点の座標を平面の式に代入して、係数の連立方程式を解く」というやり方でいいのでは。

(1,-1,3)を通るから、a-b+3c+d=0
(-2,5,9)を通るから、-2a+5b+9c+d=0
(-1,2,-1)を通るから、-a+2b-c+d=0

となって、これを解くと、
　a=-14c, b=-8c, d=3c
となるので、平面の式は、
　-14cx-8cy+cz+3c=0
∴14x+8y-z-3=0
となります。

この回答へのお礼

0との等式なんで未知数に1とか代入してもOKでしたね。なんかそこで悩んだりしてました。ありがとうございます。

お礼日時：2005/02/13 11:21

No.3 回答者： quantum2000 回答日時： 2005/02/12 22:29

ただ解くだけならば、平面の方程式（の公式）を知らなくても、２つのベクトルの線形結合を考えれば、平面の式が求まるのではないでしょうか？

つまり、３点のうちの２点を始点と終点とする２つのベクトルを考えて、それらをａ，ｂとする。（ただし、互いに逆ベクトルとなっていないものを選ぶ。）例えば、
　　ａ＝（１，－１，３）－（－２，５，９）
　　　＝（３，－６，－６）
　　ｂ＝（１，－１，３）－（－１，２，－１）
　　　＝（２，－３，４）

すると、この３点を通る平面上の任意の点Ｐの位置ベクトルｐ（ｘ，ｙ，ｚ）は、この２つのベクトルａ，ｂの線形結合を用いて、
　　ｐ＝（ｘ，ｙ，ｚ）
　　　＝ｍａ＋ｎｂ＋ｃ
　　　＝ｍ（３，－６，－６）＋ｎ（２，－３，４）＋（１，－１，３）
　　　＝（３ｍ＋２ｎ＋１，－６ｍ－３ｎ－１，－６ｍ＋４ｎ＋３）
と表される。
（ただし、ｍ，ｎは定数とし、ベクトルｃは初めに与えられた３点の中のどれかの位置ベクトル、例えば点（１，－１，３）の位置ベクトルとする。）

すると、点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）について、
　　ｘ＝３ｍ＋２ｎ＋１　　・・・(1)
　　ｙ＝－６ｍ－３ｎ－１ ・・・(2)
　　ｚ＝－６ｍ＋４ｎ＋３ ・・・(3)
だから、(2)，(3)より、
　　ｍ＝１／４２（－４ｙ－３ｚ＋５）
　　ｎ＝１／７（－ｙ＋ｚ－４）
となるので、これらを(1)に代入して、
　　ｘ＝３／４２（－４ｙ－３ｚ＋５）＋２／７（－ｙ＋ｚ－４）＋１
これを整頓して、
　　１４ｘ＋８ｙ－ｚ－３＝０
と求まります。

この回答へのお礼

そのやり方でもいけますね。
ただベクトルを使ってやりたかったんで。
でも、教えていただきありがとうございます。

お礼日時：2005/02/13 11:22

No.4 回答者： rinri503 回答日時： 2005/02/16 17:50

Ｄが、Ａｘ＋・・・・＋Ｄ＝０　のことを言っておられるのであれば、このＤは、距離ではありませんよ

定数です
　今　法線が　ｖ＝（１４，８，－１）と出してくれてい　ますが　これが、（１，－１，３）をとおりますから
　代入すると平面は
　　１４（ｘ－１）＋８（ｙ＋１）－１（ｚ－３）＝０
　　これを展開したときの、定数です
あえて言えば、その｜Ｄ｜は、平面を平行移動して原点を通した時の移動した分のベクトルの大きさでしょう

この回答へのお礼

なるほど。
距離として求めているわけではありませんが、
結局原点からの移動分と同じって分けですね。
ただ、平面上の点を代入して、
１４（ｘ－１）＋８（ｙ＋１）－１（ｚ－３）＝０
とするのはなんででしょうか?
かなり前にやった基礎的なことですが・・・
イメージがわきません。。。

お礼日時：2005/02/16 22:58

No.5 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2005/02/17 15:56

#1です。

＞１４（ｘ－１）＋８（ｙ＋１）－１（ｚ－３）＝０
＞とするのはなんででしょうか?

図形の方から説明すると、
14x+8y-z=0
という平面は、求める平面に平行で、原点を通ります。

この平面を例えば，x方向に1,y方向に-1,z方向に3だけ平行移動してやると、原点が点(1,-1,3)に移ることから、

点(1,-1,3)を通る平面(平行移動しただけなので、求める平面に平行でもある)となります。

法線と通る点を与えれば、平面は一意に決まりますから、
14(x-1)+8(y+1)-(z-3)=0
が求めるべき方程式という事になります。


式の方から説明するなら、(↑とほぼ同じなので、こっちは、一般性を持たせます)

A,B,Cが既知なら、Ax+By+Cz+D=0において、あとはDを求めるだけです。(X,Y,Z)を通るとすれば、
D=-AX-BY-CZより、平面の方程式は
Ax+By+Cz-AX-BY-CZ=0
A(x-X)+B(y-Y)+C(z-Z)=0
となりますね。


ちなみに、
Ｄというのは、
法線ベクトル(A,B,C)と平面上の点(x,y,z)の位置ベクトルの内積(に-1をかけたもの)と考える事ができますね。(Ax+By+Cz=-Dなので)

したがって、|D|/√(A^2+B^2+C^2)が平面と原点の距離となります。
(とくに、√(A^2+B^2+C^2)=1となるようにA,B,Cを選べば、|D|が平面と原点の距離になりますね)

√(A^2+B^2+C^2)=1の時、Ｄは平面と原点との距離を表します。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
おかげですっきりしました。
また何かあったらよろしくお願いします。

お礼日時：2005/02/17 17:50