平面x+2y+z-3=0で表される平面に、原点O(0,0,0)から下した垂線の足の座標は？

平面x+2y+z-3=0で表される平面に、原点O(0,0,0)から下した垂線の足の座標は？

No.4 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/13 22:44

ゴメン、計算ミスった。

t+4t+t-3=0
6t=3
t=1/2

よって、求める座標は(1/2,1,1/2)

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/13 22:42

平面x+2y+z-3=0の法線ベクトル(1,2,1)を方向ベクトルとし、(0,0,0)を通る直線の方程式を考えると、

x=y/2=z

媒介変数をtとすると、直線の方程式は以下であらわせる。
x=t, y=2t, z=t

平面と直線の交点が求める座標なので、x+2y+z-3=0にx=t, y=2t, z=tを代入すると、
t+4t+4t-3=0
9t=3
t=1/3

よって、求める座標は(1/3,2/3,1/3)

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/13 22:27

「x+2y+z-3=0という制約付きで(x^2 + y^2 + z^2) が極値を取るx,y,zは？」という問題に読み替える。

そこで未定乗数法を使って
　　L = (x^2 + y^2 + z^2) + λ(x+2y+z-3)
として
　　∂L/∂x = 0
　　∂L/∂y = 0
　　∂L/∂z = 0
　　∂L/∂λ = 0
の連立方程式を解く。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/13 21:50

(1/2,1,1/2)かな。

この回答へのお礼

求め方も是非教えて下さい！

お礼日時：2021/01/13 21:51