数学的帰納法

kが自然数の時、
2^(3k±1) + (3k±1) ^2
が３の倍数になることを証明せよ。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい。
  3k±1 -> 6k±1
  の間違いです。
  複合同順です。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/05 14:57

• 両方です。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/05 18:15

• p(k) = 2^(6k±1) + (6k±1)^2 = 3m(mは自然数)と仮定すると、
  
  p(k+1) = 2^(6k±1+6) + (6k±1+6)^2
  
  = 2^6 * 2^(6k±1) + (6k±1)^2 + 12(6k±1) + 6^2
  
  = (1 + 63) * 2^(6k±1) + (6k±1)^2 + 12(6k±1) + 6^2
  
  = 2^(6k±1) + (6k±1)^2 + 63 * 2^(6k±1) + 12(6k±1) + 36
  
  = 3m + 3(21 * 2^(6k±1) + 4(6k±1) + 12)
  
  で、k+1の時も、３の倍数になる。
  
  これより良い証明方法ってありますか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/05 21:20

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/05 23:46

6k±1 は 3 で割り切れないので (6k±1)^2 を 3 で割ると余りは 1. 一方 6k±1 は奇数で, 非負整数 n に対し 2^(2n) = 4^n を 3 で割った余りは 1 だから 2^(2n+1) を 3 で割った余りは 2.

うん, 帰納法がそもそもいらない.

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/02/05 20:26

「複合同順」では無く「複号同順」ね。

3k+1>6k+1 と 3k-1>6k-1 って、
(k:自然数) では あり得ないのですが。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/05 20:22

で, あなたはどこまでやってどこで何に困っている?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/05 17:38

「3k±1」が 2か所あるんだが, 「3k±1 -> 6k±1」というのはそのうちのどちらか一方だけの話? それとも, 両方?

そして, 質問は何? まさか
自分では証明したくないので証明してください成果は自分のものとします
なんていわないよね?

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/02/05 13:29

ｋ＝1　2^2+2^2=8 とほほ

ｋ≧2　とか条件にありますか？

ところで、±の意味は
2^(3k-1)+(3k-1)^2 かつ　2^(3k+1)+(3k+1)^2 をという意味なのか、
±のすべてのコンビネーションをという意味なのかは明示されていますか？