ブール環

環Ｒの任意の元ａに対して、ａ^２＝ａが成り立つとき、Ｒは可換環
である。
の証明について質問します。

[証明]
∀ａ,ｂ∈Ｒについてａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）^２＝ａ＋ａｂ＋ｂａ＋ｂ
よってａｂ＋ｂａ＝０．　ａｂ＝－ａｂ

これでは可換とはいえないですよね？
ａ＝ｂとすると…と続ければ良いのでしょうか？

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/12/30 18:19

>これでは可換とはいえないですよね？

仮定から (-1)^2 = -1 じゃんよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： old_sho 回答日時： 2008/12/30 22:46

その証明の途中式は、

ａｂ＝－ｂａ
と言う結論ですよね。
一方
ａｂ＝（ａｂ）＾２
より
ａｂ＝ａｂａｂ＝ａ（ーａｂ）ｂ＝ーａｂ
よって
ーａｂ＝ａｂ＝ーｂａ
ゆえに
ａｂ＝ｂａ

この回答へのお礼

納得できました。ありがとうございます。

お礼日時：2008/12/30 23:13