No.2ベストアンサー
- 回答日時:
おぉっ、補足してくれたのですね。
まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。
あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f(x)=xと同程度のδを選べばよい」
→「existδ=εとすればよい」と回答の方針を決定できます。
あとは、ご存知のとおり、
|1/(1+x1^2)-1/(1+x2^2)|<εを示せばよいのですが、あいにくゴリゴリ計算する時間が今ないので、後で(後日?)、時間がとれたら、変形を書き下したいとおもいます。
あるいは、f’(1次導関数)の絶対値の最大値(多分1以下です)を求めれば直接的な変形をしなくても、
|f(x1)-f(x2)/(x1-x2)|<1が全域で示せるので
そのほうが容易かもしれません。
No.3
- 回答日時:
(下ごしらえ)
g(x)=|2(x+1)/(1+x^2)^2|は、x→±∞で、g→+0なので、R上最大値を持ち、その最大値をMとする。
(証明)
∀εに対し、δ=ε/Mとおけば、
|x1-x2|<min(δ、1)のとき、 (x1<x2と置いても一般性を失わず、x2=x1+tとするとt<1)
|f(x1)-f(x2)|
=|(x1+x2)(x1-x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)|
=|x1-x2|*|(x1+x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)|
<|x1-x2|*|(x1+x2)/(1+x1^2)^2|
=|x1-x2|*|(2x1+t)/(1+x1^2)^2|
<|x1-x2|*|(2x1+1)/(1+x1^2)^2|
<δ*M=ε
//
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