No.4ベストアンサー
- 回答日時:
「仮定」という表現が何回か出てきているんだけど, それぞれで「仮定」が何を表しているのかきちんと把握できているのだろうか. ちょっと心配.
で本題.
もちろん「どのような方針で証明するか」というのは最初に書いてくれていると読み手に親切で助かる (現実はそんなに簡単じゃないけど). だから, この場合も
・背理法で証明する
・そのため, これこれこんな命題が矛盾を生じることを示す
と書いてもらえると, 採点する人は楽になるね (実際はそんなに以下略).
以下ある意味の余談.
背理法そのものは
(無矛盾な) 前提のもとで命題 P が成り立つことを証明するために, 前提と「P の否定」から矛盾を導く
という方法なわけだけど, この証明すべき命題 P が「X ならば Y」のような形だと X の扱いは
・証明すべき命題の一部とする
・前提の一部とする
のどちらでも結果的に証明ができてしまう.
No.5
- 回答日時:
aとbが互いに素であるとする…(仮)
a+bとabは互いに素でない,
すなわちa+bとabは共通な素因数pをもつと仮定すると
a+b=pk…①
ab=pL…②
(k,Lは自然数)
と表される.
②から,aまたはbはpの倍数である.
aがpの倍数であるとき,a=pmとなる自然数mがある
このとき,①から
b=pk-a=pk-pm=p(k-m)
となり,
bもpの倍数である.
これはaとbが互いに素であること(仮)に矛盾している
bがpの倍数であるときも,同様にしてaはpの倍数であり、
aとbが互いに素であること(仮)に矛盾する
したがって,a+bとabは互いに素である.
No.3
- 回答日時:
問題文をチャント読んだ?
証明したい事:(a,bが互いに素)⇒(a+bとabは互いに素)
証明は上の対偶(逆の否定)を証明すれば良い(命題と命題の対偶は同値)。
つまり、
(a+bとabが、共通素因数を持つ)⇒(a,bは共通素因数を持つ)が証明出来れば良い。
解答はこれを証明してる。
No.2
- 回答日時:
ま、引っ掛かるなら
あなたはきちんと書けばいい
というだけの話ですね。
否定しているのは「結論部分だけ」つまり
a+bとabが互いに素
という部分です。
そして、矛盾が起きたのは仮定部分の
aとbが互いに素
という部分です。
このあたりを混同していると思われます。
背理法は
『結論を否定して「仮定の部分に矛盾を導く」』
という手法です。
回答ありがとうございます。
矛盾が起きたのは仮定部分
これですこれ。
なんでこれを証明(チャートの解説)の最初に書かないのでしょうか?
書かなかったら減点とかじゃないんですか?
No.1
- 回答日時:
> 仮定したことと反対の互いに素で“ある”と
> 逆のことを言って証明になる意味がわかりません。
それが「背理法」です。背理法が何だかわからないんですね。
慣れないとわかりにくい、独特の論法ではあるのですが...
仮定したことと反対のことを導出したってことは、
P を仮定して notP を証明したことになります。
P はもともと仮定しているので、(P かつ notP) が証明された
とも言えますね。 (P かつ notP) は、P の内容によらず
常に偽なので、偽な命題を真だと証明してしまったことになります。
我々は、日常、自分達が使う証明系が矛盾であると仮定して
議論を行っています。無矛盾とは、偽な命題が真であると証明
されることがない証明系だという意味です。
日頃我々が使う証明系が無矛盾であることは、証明されていないし、
我々が使う証明系における推論でそれを証明することはできない
ことが既にゲーデルによって証明されてしまっているのですが...
現代において数学を行う者は、自分達の証明系が無矛盾だと
仮定して、日々の考察を行っているのです。
いや違うんですよ。
証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
っていうこれです。
倍数であることの証明になっているのに、互いにその証明になってるんです
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aとbが互いに素であり、と証明の初めに書いてあればいいと思うんですけど、、
なんで書かないのですかね?
仮定の否定なのに、きちんと仮定を書いてないように思えるのですが、、
やっぱ意味不明です。