三角関数の性質ってところで☆

４sinθcosθ＝√3のとき、次の値を求めよ。
(1)sinθ+cosθ
(2)sin^3θ+cos^3θ

という問題なんですが、よくわかりません。

似たような問題で
sinθ+cosθ=√2のとき次の値を求めよ
(1)sinθcosθ
(2)sin^4θ+cos^4θ
という問題はちゃんと解けました
（上の式を二乗してsinθcosθをだすんですよね☆）

こういう系統の問題は、どうやって解いたらいいんでしょうか？一様、下でやったことを逆にやってみましたが、途中でわからなくなりました。
回答お願いします。

No.5 回答者： tarame 回答日時： 2005/02/17 18:29

三角関数のこの手の問題は

sin^2θ＋cos^2θ＝1 という式が大活躍します。

式を2乗すると、複雑になるのが当たり前なのですが、
三角関数では、この式が活躍して複雑にならないのです。

No.4 回答者： sigma-connection 回答日時： 2005/02/16 20:36

途中でわからなくなってしまうのは、式変形に夢中になって何を求めればいいかを見失ってしまうせいだと思うからだと思います。

求めるものをxとおいて変形していくのがコツです。

(1)sinθ+cosθ=xとおいて
　　sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=x^2
1+√3/2=x^2
よってx=√(1+√3/2)=(√3+1)/4

答　sinθ+cosθ=(√3+1)/4

(2)sin^3θ+cos^3θ=yとおいて
　sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ)
=x(1-√3/4)=y
x=(√3+1)/4よりy=(1+3√3)/4

答　sin^3θ+cos^3θ=(1+3√3)/4

No.3 回答者： FM-8 回答日時： 2005/02/16 19:45

展開間違っているかもしれませんが，

慎重にやれば大丈夫です．
一度，お試しを．

４sinθcosθ＝√3のとき、次の値を求めよ。
(1)sinθ+cosθ
(2)sin^3θ+cos^3θ

(1) sinθ+cosθ
とりあえず，2乗します．
(sinθ+cosθ)^2 = (sinθ)^2 + (cosθ)^2 + 2sinθcosθ
　　　　　　　 = 1 + 2*(√3)/4
= 1 + (√3)/2
よって，
　sinθ+cosθ = √(1 + (√3)/2)

(2)sin^3θ+cos^3θ
　
(sinθ+cosθ)^3 = (sinθ+cosθ)*(sinθ+cosθ)^2
= (sinθ+cosθ)*((sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ)
= (sinθ)^3+sinθ(cosθ)^2+2(sinθ)^2cosθ + cosθ(sinθ)^2 + (cosθ)^3　+ 2sinθ(cosθ)^2
= (sinθ)^3 + (cosθ)^3
+ 3(sinθ)^2cosθ + 3sinθ(cosθ)^2

= (sinθ)^3 + (cosθ)^3
+ 3sinθcosθ(sinθ　+ cosθ)

よって，

(sinθ)^3 + (cosθ)^3 = (sinθ+cosθ)^3 - 3sinθcosθ(sinθ　+ cosθ)
= (sinθ+cosθ)*((sinθ+cosθ)^2 - 3sinθcosθ)
= (√(1 + (√3)/2))*(1 + (√3)/2 -3√3/4)
= (√(1 + (√3)/2))*(1 - (√3)/4 )

答えにしちゃ，ちょっと複雑ですね．
間違えている気がします．

それでは．

No.2 回答者： ryu-1074 回答日時： 2005/02/16 19:31

(2)の別解は

sin^3θ+cos^3θ＝(sinθ+cosθ)(sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ)
と因数分解してから(1)の結果を代入するという手もあります。

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2005/02/16 19:19

(1)は、(sinθ+cosθ)を2乗したものを、sinθcosθ＝(√3)/4と組み合わせて求めます。

(2)は、(sinθ+cosθ)を3乗したものを、sinθcosθ＝(√3)/4と(1)の結果とを組み合わせて求めます。
√(a + b√3)のような形になったら、(c + d√3)^2 = a + b√3　のような式を作ってルートを開きます（平方根は＋－があるのでに注意）