二次方程式x^2+√13x+3=0の解はx=(−√13±1)/2となりますが、この解を逆に同値変形し

二次方程式x^2+√13x+3=0の解はx=(−√13±1)/2となりますが、この解を逆に同値変形していくと、x^2±x-3=0となり元に戻りません。なんでしょうか？

質問者からの補足コメント

• x=(−√13±1)/2
  ⇔2x=−√13±1
  ⇔2x±1=−√13
  ⇒4x^2±4x+1=13
  ⇔4x^2±4x−12=0
  ⇔x^2±x-3=0　！？
  なぜか元の式に戻りません

    補足日時：2021/10/25 00:14

• どうして、私のやり方だと「元に戻した」ことにならないのですか？確かに、二乗することで、±が消えてスッキリするので、あえて±の項だけをどちらか一方の辺に残し、二乗すると元に戻るというのは理解できるのですが、なぜ私のやり方だとうまく戻らないのでしょうか？その理由をご教示頂きたいです。よろしくお願いします

    補足日時：2021/10/25 00:45

No.10 ベストアンサー 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/25 01:26

質問文の式を使って具体的に書き直しましょうか。

補足の変形で行き着く

2x±1=-√13…①

と言う式は

2x+1=-√13…②

2x-1=-√13…③

と言う二つの式をまとめたものです。つまり①から先の変形は前述のように②と③を同時に計算しているだけであって、一つだけの式を計算しているわけではありません。これに対して私のやり方である

(x+√13/2)^2=(±1/2)^2

は一つの式だけを計算しているので元の二次方程式に戻れる事になります。

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/10/25 20:09

例えば

x=-1
両辺を2乗すると
x²=1→x=±1
ほら、こんだけで元に戻らない。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/25 06:01

x=(-√13±1)/2

2x=-√13±1
2x±1=-√13

ここで両辺を2乗する事によって新たに
x=(√13±1)/2
という解が加わって解は
x=(±√13±1)/2
となるので
同値変形ではありません

4x^2±4x+1=13
4x^2±4x−12=0
x^2±x-3=0

------------------

(x^2+√13x+3)(x^2-√13x+3)
={x-(-√13+1)/2}{x-(-√13-1)/2}{x-(√13+1)/2}{x-(√13-1)/2}
={x-(√13-1)/2}{x-(-√13-1)/2}{x-(√13+1)/2}{x-(-√13+1)/2}
=(x^2+x-3)(x^2-x-3)

この回答へのお礼

皆さん本当に親切にありがとうございましたm(_ _)m
どうやら同値変形とは何かが理解できていなかったようです
確かに、必要条件化しているのだから、元に戻らなくて当然なんですね

お礼日時：2021/10/26 00:05

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/25 01:08

補足のやり方は前述のように

(α±β)^2…①

と言う形の式を計算しているわけですが、これは

(α+β)^2…②

(α-β)^2…③

と言う二つの式を±の記号を使って一つにまとめただけです。つまり①から先の計算は②と③と言う二つの式を同時に計算し続けている事になるわけですから、元の式である一つの二次方程式に戻るはずがありません。

それから前述のように二次方程式を解くには元の二次方程式を

(x+p)^2=q

と言う形に変形してから両辺の平方根を取って

x+p=±√q

としているわけですから、これを逆にたどれば

(x+p)^2=(±√q)^2

となります。つまり±のある項だけを一方の辺に残すのは「それが本当の意味で解を求めるプロセスの逆だから」と言う事になります。

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/25 00:57

No.6 です。

＞なぜ私のやり方だとうまく戻らないのでしょうか？

ちゃんと戻そうとしなければ戻りませんよ。
「どのように計算しても戻る」などと考える方がどうかしています。

x^2 - 5x + 6 = 0 ・・・①　の解は
　x=2, 3　　　②
ですが、②を
　x^2 = 4
　x^2 = 9
とやったって①にはなりませんよ？

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/25 00:30

補足の変形を拝見しましたが

(α±β)^2

なんてやったら±の記号が残ってしまいます。そうではなくて私がやったように

α^2=(±β)^2

と言う形で二乗しないとうまく行かないはずです。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/25 00:28

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞なぜか元の式に戻りません

だって、元に戻してはいませんから。

「2x±1=−√13」を2乗したって、元の式にはなりませんよ？

元に戻したいなら、#4 さんのようにやらないと。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/25 00:24

ちなみに二次方程式の解の公式の求め方ですが、元の二次方程式を以下の二通りの形に変形するやり方があります。

(x+p)^2=q…①

(x+α)(x+β)=0…②

なお①の形の式を以下のように変形すれば②の形になるので、②は①をより変形したものと言えます。

(x+p)^2-(√q)^2=0

(x+p+√q)(x+p-√q)=0

この場合は①の方がプロセスが少なくて済みますし第一分かりやすいので、解をまず①の形に変形したわけです。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/25 00:12

試しにやってみました。

x=(-√13±1)/2

=-√13/2±1/2

x+√13/2=±1/2

(x+√13/2)^2=1/4

x^2+2(√13/2)x+13/4=1/4

x^2+√13x+12/4=0

x^2+√13x+3=0

ほれ、元の二次方程式に戻りました。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2021/10/24 23:57

二次方程式の解を求める過程を逆にたどればいいはずでは? そもそもその解から

x^2±x-3=0

などと言う式にはならないはずです。恐らくその変形が間違っています。