数I Aの整数の性質についての質問です。 問題で【50!のなかに素因数2の個数は何個あるか】と言う問

数I Aの整数の性質についての質問です。
問題で【50!のなかに素因数2の個数は何個あるか】と言う問題がありました。
答えは2の倍数の個数+2^2の倍数の個数+・・・+2^5の個数で47とありました。
しかしこの計算になる原理がよくわかりません。
2^2の倍数の個数ということは4の倍数ですよね、でも4の倍数は2の倍数の時にも数えていますし、、みたいた感じでごちゃ混ぜになります。
詳しく教えていただきたいです。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2021/11/07 13:19

50!を素数２で素因数分解すると、

50～１の自然数で２＊自然数と素因数分解できるのは
50!=(25*2)49(24*2)47(23*2)45(22*2)・・・(3*2)5(2*2)3(2*1)1
の２５個、
２ｘ２＊自然数と素因数分解できるのは（４は素数ではないので、２ｘ２に
します）
50!=50*49(2²*12)47*46*45(2²*11)・・・(2²*2)7*6*5(2²*1)3*2*1
の１２個、
２ｘ２ｘ２＊自然数と素因数分解できるのは
50!=50*49(2³*6)47・・(2³*5)39・・(2³*4)31*30・・(2³*1)7*6*5*4
　　　*3*2*1
の６個、
２ｘ２ｘ２ｘ２＊自然数と素因数分解できるのは
50!=50*49(2⁴*3)47・・33(2⁴*2)31・・17(2⁴*1)15*14*13*12*11*
10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
の３個、
２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２＊自然数と素因数分解できるのは
50!=50*49・・33(2⁵*1)*31・・17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*
6*5*4*3*2*1
の１個

合計４７個になります。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/11/07 13:01

＞＞でも4の倍数は2の倍数の時にも数えていますし、、

1個しか数えてないよ。

例えば1～6までに素因数2の個数は何個？
6÷2=3だから3個？？

書いてみれば解る
1：ない
2：2×1だから1個
3：ない
4：2×2だから2個
5：ない
6：2×3だから1個

4個在るぞ！

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/11/07 12:52

2の倍数は25個。

この中には4の倍数もある。
4には因数2が2個あるから、25個ではカウント漏れが有るからそれを足す。
4の倍数は12個有るから、25個+12個=37個

まだ安心出来ない。
8には因数2が3個あるから、37個ではカウント漏れが有るからそれも足す。
8の倍数は6個有るから、37個+6個=43個

まだまだ安心出来ない。
16には因数2が4個あるから、43個ではカウント漏れが有るからそれも足す。
16の倍数は3個有るから、43個+3個=46個

まだまだまだまだ安心出来ない。
32には因数2が5個あるから、46個ではカウント漏れが有るからそれも足す。
32の倍数は1個有るから、46個+1個=47個

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/07 11:54

1(2の倍数の個数 - 2^2の倍数の個数)

　+ 2(2^2の倍数の個数 - 2^3の倍数の個数)
　+ 3(2^3の倍数の個数 - 2^4の倍数の個数)
　+ 4(2^4の倍数の個数 - 2^5の倍数の個数)
　+ 5(2^5の倍数の個数)
= 2の倍数の個数
　+ (2 - 1)(2^2の倍数の個数)
　+ (3 - 2)(2^3の倍数の個数)
　+ (4 - 3)(2^4の倍数の個数)
　+ (5 - 4)(2^5の倍数の個数)
= 2の倍数の個数
　+ 2^2の倍数の個数
　+ 2^3の倍数の個数
　+ 2^4の倍数の個数
　+ 2^5の倍数の個数.