回転放物面の曲率の導出方法

回転放物面 z=(1/4p)(x^2+y^2) (以降、Πと呼びます。小文字の定数pはいわゆる焦点距離を表しています。)上の任意の点Pでの曲率を解析的に求める方法について教えてください。ここでいう曲率は、任意の点PでのΠの法線ベクトルｎ（＝Pでの接平面：S0の法線）を含む任意の平面（＝Ｓ）で、Πを切断したときに現れる、平面曲線の曲率です。
過去の教えてgoo：https://oshiete.goo.ne.jp/qa/810600.html
のQ&Aにも記述があるように、これは曲面曲率に関する問題であると思います。少し調べて考えたところ、Πの主曲率はほぼ直感的に得ることができて、２つの主曲率のうちの１つ：S1は、Πを記述する座標系の原点を含む平面で切断したときに現れる放物線の、点Pでの曲率、もう一つはこの平面S1と直交し、かつ元の接平面S0とも直交する平面で切断したときに現れる、楕円の、点Pでの曲率になりますよね？
この２つの主曲率を得たのち、任意の方向ベクトルを持つ平面で切断したときの点Pでの曲率は、いわゆるガウス曲率や平均曲率を用いた微分幾何学の結果から、平易に求められるものでしょうか？それともこれらの理論は、私の”実用的な”要求には有用でないのでしょうか？

当方は大学教養程度の知識しかなく、いわゆる曲面の曲率についての数学的な知識に乏しいので、どうか教えてください。なるべく平易な教科書・参考書を紹介いただけると助かります。

質問者からの補足コメント

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  stomachman様　丁寧な式の展開をいただいてどうもありがとうございました。
  順に式を追うことができ、計算間違いがないことを確認しました。
  最後の式について: tanθ = ξ/(2p)より、ξ=2ptanθ
  よって、
  Z'' = ((cosφ cosθ)^2 + (sinφ)^2 )/(ξsinθ - 2pcosθ) = ((cosφ cosθ)^2 + (sinφ)^2)/(2pcosθ)
  となり、"ξはθの中に隠れる”　これでよろしいでしょうか？
  
  点Ｐを通る任意の方向φの法平面で切断したときに現れる曲線の、点Ｐでの曲率が、大変シンプルに表せることを示せて、大変すっきりしました。
  
  どうもありがとうございました。ベストアンサーとさせていただきます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/12/11 22:56

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/05 17:58

> いわゆる曲面の曲率についての数学的な知識に乏しい

とおっしゃるのなら、
　　P=(ξ,0,(1/4p)ξ^2)
が原点になるように座標原点を平行移動し、さらにy軸を中心に回転した座標系(X,Y,Z)を考え、原点でX Y平面が曲面と接するようにする（つまりP点が原点、P点での法線がZ軸になるようにする）ために、
　　x - ξ = X cosθ - Z sinθ
　　y = Y
　　z - (1/4p)ξ^2 = Z cosθ + X sinθ
とやる。すると
　　4p(Z cosθ + X sinθ) + ξ^2 = (X cosθ - Z sinθ + ξ)^2 + Y^2
なので、展開して移項したものを
　　f(X,Y,Z) = X^2 (cosθ)^2 + Z^2 (sinθ)^2 - 2 XZ cosθsinθ + (2ξcosθ - 4psinθ)X - (2ξsinθ - 4pcosθ)Z + Y^2
とおくと、曲面は
　　f(X,Y,Z) = 0
という方程式で表される。そして、(X,Y)=(0,0)において∂Z/∂X =0という条件からXの1次の項の係数が0でなくちゃならず、すなわち
　　(2ξcosθ - 4psinθ) = 0
から
　　tanθ = ξ/(2p)
と決まる。結局
　　f(X,Y,Z) = X^2 (cosθ)^2 + Z^2 (sinθ)^2 - (2cosθsinθ)XZ - (2ξsinθ - 4pcosθ)Z + Y^2
　次に、Z軸を含む「平面で切断」するために
　　X = r cosφ
　　Y = r sinφ
として（φは平面の方向を決める定数）
　　f(r cosφ,r sinφ,Z) = 0
という2次元曲線の方程式の(r,Z)=(0,0)における曲率を考える。だからfのrによる二階微分をやってr=0とすれば、r=0のとき∂Z/∂r = 0, Z = 0 なので
　　Z'' = ((cosφ cosθ)^2 + (sinφ)^2 )/(ξsinθ - 2pcosθ)
てな感じに決まるってのではどうでしょうか。（計算間違いは毎度のことなので、ご確認を。）