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デデキント環の異なる素イデアル

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  • 質問者：ななな1113
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

デデキント環 D の異なる素イデアル P,Q は互いに素であることを示してください．

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： yukkurine
  • 回答日時：

以下の証明で理解できたかどうか教えて下さい。



-----------------------------------------------------------------------
P,Qは零でない素イデアルとする。
デデキント環では零でない素イデアルは極大イデアルである。（★）
P+Q⊃P
PとQは異なるため、P+Q≠P
よってPの極大性から、P+Q=D
したがってPとQは互に素である。

（★）の証明
Dの零でないイデアルSに対しSを含む極大イデアルMが存在し、極大イデアルならば素イデアルである。デデキント環の性質からS=MIとなるイデアルIが存在し、Iは有限個の素イデアルに分解できる。素イデアル分解の一意性よりS=Mが従う。
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この回答へのお礼

理解できました．ありがとうございます．

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お礼日時：2022/01/01 12:53

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