No.2ベストアンサー
- 回答日時:
正しくありません。
母分散の不偏推定量は簡単に計算でき、それは不偏分散と言われますが、
その不偏分散の平方根(俗にいう標準偏差)は、母標準偏差の不偏推定量ではない。その誤差はどれだけあるか(というかそれらの比はいくらか)。
を問われていますか。
母標準偏差の不偏推定量は、数表を使った不偏化補正というものもありますが、ガンマ関数を用いてExactに解くことができ、ご質問者の得たい比率も計算できます。
n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128
となり、「不偏分散の平方根(俗称標準偏差)」は実際より小さめになっているのです。
ご質問の式は、計算したところ大幅に異なる値を示しました。
参考文献
吉澤康和(1989)「新しい誤差論 実験データ解析法」,共立出版,p79
この本には、不偏標準偏差のExactな導出過程と、上記の数値の表も併せて出ています。
No.6
- 回答日時:
#3さん
> #1さんの式も、Rで計算してみたけど、違うような・・・。
私が記載したのは(√V)/σの標準偏差であって期待値ではないので、値が異なるのは当然です。
No.5
- 回答日時:
ご質問者の示されている「比」は、不偏化補正の数値のうち、「c4補正」に使われる「c4」という値ですね。
一方、私の示した(かのテキストに書いてある)値、
n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128
は、「1/c4」ですね。
不偏化補正には他にも「d2」とか色々あります。調べてみると面白いですよ。
私が従事する工業界においては、管理図は1日4点抜き取ってプロットしています。そのとき、本来のばらつきより小さめに評価されてしまうので、そを避けるため、不偏化補正が行われます。
抜き取りのn数が小さい時は、最大ー最小、つまりレンジRを使って、R/d2 で標準偏差を求める方が正確だと言われています。管理図ではこの方法が使われます。
No.4
- 回答日時:
他の方のあら捜しでは礼を欠くので、自分の式を書きます。
x <- sqrt((n - 1) / 2) * gamma((n - 1) / 2) / gamma(n / 2)
という式になります。計算してみたところ、数値は合っていました。
ただ、数値はご質問中の比の逆数になります。
n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128
・
・
・
という値です。
以下、実際の計算結果です。
2 1.2533141373155
3 1.12837916709551
4 1.0854018818374
5 1.06384608107049
6 1.05093585307461
7 1.0423520253929
8 1.03623672561821
9 1.03166095277304
10 1.02810925326662
11 1.02527289783676
12 1.02295579097336
13 1.0210274431707
14 1.01939767309374
15 1.01800217002272
16 1.01679384336718
17 1.01573742379131
18 1.01480597471438
19 1.01397856978982
20 1.01323870586449
No.3
- 回答日時:
#1さんの式も、Rで計算してみたけど、違うような・・・。
x <- sqrt(1 - (2 / (n - 1)) * gamma(n / 2)^2 / gamma((n - 1) / 2)^2)
で合っていますか?
No.1
- 回答日時:
Vは標本の大きさが n - 1 の標本の不偏分散であるとします。
√V = {σ/√(n - 1)}√{(n - 1)V/σ^2}
√{(n - 1)V/σ^2} は自由度 n - 1 のカイ分布に従うので、分散は
n - 1 - 2Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
となります。
参考:Chi distribution (Wikipedia)
https://en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution
従って、
D(√V)/σ = {1/√(n - 1)}√{n - 1 - 2Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
}
= √{1 - (2/(n - 1))Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
}
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