微分積分 数学

x^2×e^-xのn階微分
=e^-x(-1)^n(x^2-2nx+n^2-n)で合ってますか？
違ったら解説も欲しいです(ライプニッツで)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/08 20:03

合ってる。

ナイーブにライプニッツ則を適用して、
(d/dx)^n (x^2)(e^-x) = Σ[k=0...n] (nCk){ (d/dx)^k x^2 }{ (d/dk)^(n-k) (e^-x) }.

右辺の Σ のうち、 k = 0, 1, 2 以外の項は (d/dx)^k x^2 が 0 になるから、
(d/dx)^n (x^2)(e^-x) = (nC0){ x^2 }{ (e^-x) (-1)^n}
　　　　　　　　　　+ (nC1){ 2x }{ (e^-x) (-1)^(n-1) }
　　　　　　　　　　+ (nC2){ 2 }{ (e^-x) (-1)^(n-2) }
　　　　　　　　　= { 1 }{ x^2 }{ (e^-x) (-1)^n}
　　　　　　　　　　+ { n }{ 2x }{ (e^-x) (-1)^n (-1) }
　　　　　　　　　　+ { n(n-1)/2 }{ 2 }{ (e^-x) (-1)^n }
　　　　　　　　　= { (e^-x) (-1)^n}{ 1・x^2 - n・2x + ( n(n-1)/2 )・2 }
　　　　　　　　　= (e^-x) (-1)^n { x^2 - 2nx + n(n-1) }.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/08 18:03

{x²-2nx+n(n-1)}(-1)ⁿe^(-x)

なお
　ΣnCk(x²)^[k] (e^(-x))^[n-k] ・・・^[k] はk回微分

k>3のとき、(x²)^[k]=0
k=2 のとき
　nC₂ 2・(-1)²(e^(-x))=n(n-1)e^(-x)