No.3ベストアンサー
- 回答日時:
まずはおさらいから...
複素冪関数 x^y は、多価関数ですが、
x≠0 であるような任意の (x,y) の近傍で一価正則な枝を持ちます。
それが、多価でありながら多価「関数」と呼ばれる所以です。
log x の枝をひとつ固定して LOG x と名前をつけると、
log x = LOG x + 2πin (nは整数) の関係があります。
LOG としては、実対数関数を何か適当な複素領域へ
解析拡張したものを選んでおくのが便利です。
その上で、複素冪関数は
x^y = e^log(x^y) = e^(y log x) = e^(y (LOG x + 2πin)) と書けます。
x > 0 であれば、このまま代入して、
2^(-i) = e^(-i (LOG 2 + 2πin)) ;nは任意の整数
= e^(i (-LOG 2) + 2πn)
= e^(i (-log 2)) e^(2πn)
= { cos(-log 2) + i sin(-log 2) } e^(2πn)
= cos(log 2) e^(2πn) - i sin(log 2) e^(2πn),
1^(-i) = e^(-i (LOG 1 + 2πin)) ;nは任意の整数
= e^(2πn).
x < 0 であれば、log x = log( (-x)(-1) ) = log(-x) + log(-1) から、
(-2)^(-i) = e^(-i (log 2 + log(-1))
= e^(-i (LOG 2 + π + 2πin)) ;nは任意の整数
= e^(-i (log 2 + π)) e^(2πn)
= { cos(log 2 + π) - i sin(log 2 + π) } e^(2πn)
= - cos(log 2) e^(2πn) + i sin(log 2) e^(2πn),
(-1)^(-i) = e^(-i (LOG 1 + π + 2πin)) ;nは任意の整数
= e^(-iπ) e^(2πn)
= -e^(2πn).
複素関数論を、再々再勉強します。いくら勉強しても、すぐに忘れます。
教科書読むより、動画を見た方が効率が100倍良いので、ヨビノリさんの動画を見てます。
https://youtu.be/PFRHbGFc-h8
No.4
- 回答日時:
-1=e^{i(2n+1)π}
i=e^{i(4n+1)π/2}
1^(-i)=e^(2π)
ミステリー小説、SF小説を超えていると感じます。(ここでも、eとπとiが登場してます。)
数学や物理が、面白いと感じるのは、この(直観的に)訳のわからない数学が、我々の物理の世界と繋がっている点だとは感じませんか?
No.2
- 回答日時:
a^x=e^(loga・x)
と定義すると
logaは値域を複素数とすると、aが実数でも
本質的に多価関数です。
なのでaが正の実数なら、logも実数のみ返すときめ
aが負や複素数でも
loga=log|a| + +i(∠a)) (∠xはxの偏角θ -π<θ~≦π)
と無理やり単価とする流儀もあります。
これに従うと、オイラーの公式と組み合わせると
log(-2)=1og2+iπ
(-2)^i=e^((log2+iπ)i)=e^(-π+ilog2)
=e^(-π)(coslog2+isinlog2))
No.1
- 回答日時:
-2=e^{ln2+(2n+1)πi}
と変形してから計算します。
(-2)^(-i)=[e^{ln2+(2n+1)πi}]=e^{-(2n+1)π+ln2*i}
となります。(2n+1の前のマイナスは適当な変数置換をすることで消せます)
他の3つも同様に計算すればよい。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 子供 家族のことで離婚したいのですが 5 2023/03/19 23:20
- 数学 i を虚数単位として ∫[-∞,∞]e^{-(x-i)^2}dx は ∫[-∞,∞]e^{-x^2} 2 2022/08/10 14:45
- 数学 数学(数列) 二番の問題 模範解答では 二種類の一般項を出す→掛け合わせる→それをΣ計算する だった 4 2023/04/10 21:31
- 数学 数学(算数)教えてください 平均の求め方は、全体を足してその数分割れば良いと言うのは分かるのですが、 4 2024/02/22 02:31
- 大学・短大 複素関数についての問題です。 x軸、y軸をそれぞれ実軸、虚軸とする複素平面上の点は z=x+iyで与 1 2023/05/10 21:34
- Excel(エクセル) Excelにて数式を使用して 工数計算をしたいのですが、 計算方法が分からないので教えて下さい。 1 4 2024/04/08 23:09
- その他(Microsoft Office) IF関数について教えてください 2 2022/05/10 13:31
- 統計学 t値の計算方法 1 2022/11/29 18:37
- 数学 実数であるべきものに虚数を含む複素数が現れたときの対処法 4 2022/08/30 09:19
- 物理学 Lagrangian や Hamiltonianの妥当性評価 1 2022/08/30 13:13
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教えるわが家の防犯対策術!
ホームセキュリティのプロが、家庭の防犯対策を真剣に考える 2組のご夫婦へ実際の防犯対策術をご紹介!どうすれば家と家族を守れるのかを教えます!
-
e^π、e^2πは、別の綺麗な数式で表せますか?
数学
-
n^2+n-4032はどうやって解くんですか? n=-64,63になるらしいですがそんなのどうやって
数学
-
数学I アホらしい質問なのでそんなこと考えることは無駄などの解答は受け付けておりません。 また自分的
数学
-
-
4
数学 ある自然数a,b,c,dは互いに素とし、 a/b>c/dという不等式が成り立つなら なぜb/a
数学
-
5
このルートを外す計算どうすればいいですか?
数学
-
6
下の画像の中の三角形は正方形だ、と友達が言っていたのですが、その根拠のようなものはありますか? 二等
数学
-
7
座標計算でのTan(θ)-1/Cos(θ)について教えてください
数学
-
8
この変形の何が違うのかわからないので、教えてください!
数学
-
9
大学入試の数学で、解答を進めていった結果2次方程式を解かなければいけなくなった時に、たとえばx^+x
数学
-
10
ここの計算ってどうやってやってるんですか? 一回√の中身を筆算で解いてから素因数分解してるのでしょう
数学
-
11
計算手順について
数学
-
12
ほんとになんでうごくかわからない
数学
-
13
過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル』について
数学
-
14
tan67.5を求めよという問題で tan^2θとなっているところ、2tanθではないのでしょうか?
数学
-
15
全然わからないので質問する資格がないかもですが
数学
-
16
三角関数の変換で納得いかないところがあります
数学
-
17
逆三角関数の方程式の問題です。解いたらこうなりましたが、本には、解なしと書かれていました。僕が作った
数学
-
18
すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル
数学
-
19
11・13y≡5(mod9)がy≡4(mod9)になるのは何故ですか?分かりやすく説明お願いしますm
数学
-
20
中二数学について質問です。 整数の性質のところで、nを整数とすると2の倍数は2n、3の倍数は3nなど
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
整数問題 兎に角 難問です 千葉...
-
50代の母に数Aの問題教えてほし...
-
ワイエルシュトラスの最大値定理
-
数学での文字の消去について
-
数学Aの空間図形について質問で...
-
数学Aの図形の性質について質問...
-
図形問題です。教えて下さい。
-
画像において、質問がございま...
-
三角関数の問題
-
複素関数の積分計算についての...
-
おしえてgooに図形の問題を投稿...
-
xについての2次方程式x²-2mx+2m...
-
1.3を分数に直すと10分の13に...
-
背景は何
-
「多様体の基礎」松本幸夫先生...
-
イプシロンエヌ論法についてで...
-
計算式の問題です。
-
偏微分方程式の変数分離で「偏...
-
BINGが間違えた、とっても簡単...
-
過去に 「ii) f(z)=1/(z^2-1) r...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
整数問題 兎に角 難問です 千葉...
-
えこれわかるひといますか?
-
長方形の分類(幾何学)
-
京都大学理系 過去問 整数問題
-
天孫降臨の神武天皇のY染色体...
-
中学数学の図形の問題です。
-
数学I アホらしい質問なのでそ...
-
正方行列Aについて
-
このルートを外す計算どうすれ...
-
素数についての一考察
-
これて最後どうやりますか??
-
この数学の問題はどうやって解...
-
高校数学の整数問題です。
-
暗闇で2人が出会うには両方動...
-
なんでですか?
-
大学入試の数学で、解答を進め...
-
n^2+n-4032はどうやって解くん...
-
(-1) ^2πってなんで1じゃないん...
-
標準偏差
-
一橋大学過去問 整数 素数 かな...
おすすめ情報
i^(i)、、実数。マジック、、訳がわからないです。
ふと、思いました。
我々は、小学校の頃から、整数に慣れています。リンゴが3個、みかんが5個とか、、洗脳を受けているのでは?
実は、我々の住んでいる世界は、整数は存在しなくて、虚数で出来ているかもしれない、、、
行く川のながれは絶えずして、しかも本の水にあらず。よどみに浮ぶうたかたは、かつ消えかつ結びて久しくとゞまることなし。