全然わからないので質問する資格がないかもですが

Question

前回の質問
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13787745.html

で、

「『2^N と R の間の全単射』はイメージ的にはとても簡単. 単に『0 と 1 の間の実数』の, 2進小数を持ち出せばいい.」

「自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません

自然数の部分集合
Sに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

と対応させられるのです

f(φ)=0
f(N)=0.111…=1(2進数)
f({1})=0.1,(2進数)
f({2})=0.01,(2進数)
f({1,2})=0.11,(2進数)
f({3})=0.001,(2進数)
f({1,3})=0.101,(2進数)
…
と対応できるのです

この対応f は

β(N)から[0,1]=(0～1までの全ての実数)へ対応しているのです」

との回答を頂いたのですが、

f(φ)=0
f(N)=0.111…=1(2進数)
f({1})=0.1,(2進数)
f({2})=0.01,(2進数)
f({1,2})=0.11,(2進数)
f({3})=0.001,(2進数)
f({1,3})=0.101,(2進数)
…

の左が自然数の部分集合で右が実数(0～1までの？)なら、

1→f(φ)=0
2→f(N)=0.111…=1(2進数)
3→f({1})=0.1,(2進数)
4→f({2})=0.01,(2進数)
5→f({1,2})=0.11,(2進数)
6→f({3})=0.001,(2進数)
7→f({1,3})=0.101,(2進数)
…

というわけにはいかないのですか？

あと、

「どこの誰が
自然数の部分集合と実数は

() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・

というように対応させられない

って書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.」

という回答を頂いたのですが、ということはつまりこれが自然数の部分集合と実数の1対1対応の表なのですか？

mtrajcp · Accepted Answer

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
g:N→β(N)

1→φ=g(1)
2→N=g(2)
3→{1}=g(3)
4→{2}=g(4)
5→{1,2}=g(5)
6→{3}=g(6)
7→{1,3}=g(7)

があると仮定する

1∈N-g(1)→1∈{x|x∈N-g(x)}
2∈g(2)→2∈N-{x|x∈N-g(x)}
3∈N-g(3)→3∈{x|x∈N-g(x)}
4∈N-g(4)→4∈{x|x∈N-g(x)}
5∈N-g(5)→5∈{x|x∈N-g(x)}
6∈N-g(6)→6∈{x|x∈N-g(x)}
7∈N-g(6)→7∈{x|x∈N-g(x)}

f({x|x∈N-g(x)})=f{1,3,4,5,6,7,…}=0.1011111…(2進数)

{x|x∈N-g(x)}
は
自然数の部分集合だから
それに対応する
自然数
a
があるはずで

g(a)={x|x∈N-g(x)}

となるはずだけれども

aは自然数でg(a)は自然数の部分集合だから

a∈g(a)
または
a∈N-g(a)
のどちらかが必ず成り立つはず

a∈g(a)と仮定すると
a∈g(a)={x|x∈N-g(x)}
だから
a∈{x|x∈N-g(x)}
だから
a∈N-g(a)となって
a∈g(a)に矛盾するから

a∈N-g(a)
だから
a∈{x|x∈N-g(x)}=g(a)
だから
a∈g(a)となって
a∈N-g(a)に矛盾するから

g(a)={x|x∈N-g(x)}
となるような
a
は存在しないから

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
g
は
存在しないから

N
から
実数区間
[0,1]
への1対1対応全射写像
f○g
も存在しない

ここで
{x|x∈N-g(x)}
に対応する
g(a)={x|x∈N-g(x)}
となるような
自然数a
は存在しないけれども

{x|x∈N-g(x)}
に対応する
実数
f({x|x∈N-g(x)})=f{1,3,4,5,6,7,…}=0.1011111…(2進数)
は存在するのだから

β(N)
から
実数区間
[0,1]
への1対1対応全射写像は存在するのです

∴
|N|<|β(N)|=|[0,1]|=|R|

Tacosan · Answer

残念ながら
「～というように1対1に対応させられる」
と
「～が自然数の部分集合と実数の1対1対応の表」
とは, 日本語として全く意味が違う. これは理解してるよね?

さて, あなたがどのように解釈したのか (どのように思っているのか) は
あなたの書いたモノ
を通してしか理解できない. だから, よしんばあなたが
「～というように1対1に対応させられる」
と理解した (そしてそう表出しようとした) としても,
「～が自然数の部分集合と実数の1対1対応の表」
と書かれているのであれば (あなたの真意がどうであれそれとは無関係に) そのように読むしかない. そしてそう読んで「回答不能」と結論づけたのだ.

さすがに「書いてあることとは違うことを言いたいのかもしれない」と思いながら読むわけにはいかんのだよ.

mtrajcp · Answer

.自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は1対1対応にならない
といってはいません
1列に並べられないけれども
1対1対応になるのです

.自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は

任意のSに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

の式によって
1対1対応になるのです
1対1対応にする方法が存在するのです
1対1対応は可能なのです

Sを具体的に指定すれば
それに対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
の式によって
1対1対応になるのです

１対１対応とは並べることではありません

例えば
f(x)=x^3
の
場合
実数x に対して　x^3 を対応させるのは
1対１対応なのです
全部の実数を並べられないのだけれども
1対１対応になるのです

1対１対応とは
全単射写像のことで

集合X,Y
x∈X に対してf(x)∈Yがただ１つに定まるとき
f:X→Y
をXからYへの写像という

写像
f:X→Y
に対して
f(a)=f(b)→a=b
が成り立つとき
fは単射という

写像
f:X→Y
に対して
任意のy∈Yに対して
y=f(x)
となるようなx∈Xが存在するとき
fは全射という

①x∈X に対してf(x)∈Yがただ１つに定まる
②f(a)=f(b)→a=bが成り立つ
③任意のy∈Yに対してy=f(x)となるようなx∈Xが存在する
の
３つを示せば
fは全単射1対１対応になるのです
この３つを示すことができない場合は
たとえ並べられることができたとしても
それは1対１対応ではないのです

mtrajcp · Answer

自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は1対1対応にならない
といってはいません
1列に並べられないけれども
1対1対応になるのです

.自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は

任意のSに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

の式によって
1対1対応になるのです
1対1対応にする方法が存在するのです
1対1対応は可能なのです

Sを具体的に指定すれば
それに対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
の式によって
1対1対応になるのです

１対１対応とは並べることではありません

例えば
f(x)=x^3
の
場合
実数x に対して　x^3 を対応させるのは
1対１対応なのです
全部の実数を並べられないのだけれども
1体１対応になるのです

eatern27 · Answer

過去の回答を全てはフォローできてはいませんが。

数学というのは、公理系からどんな事を証明できるかを考える学問なので、公理系外の概念を持ち出した時点でそれは数学的な考察の対象外です。

そう言う公理系に基づく議論が難しいのであれば、「対応表」のような比喩で語るのは仕方ないかもしれませんが、あくまでも比喩である事は認識する必要があります。つまり、何か不適切だと思われる結論に辿り着いてしまったのなら、「対応表」という比喩が不適切だった可能性もある事は頭に入れて置かなければなりません。

さて、貴方が存在するかと聞かれている「対応表」ですが、具体的にその定義を書く事はできますか？定義がはっきりしてなければそもそも存在するかどうか議論する事自体ができませんよ。

全体的にお書きの内容を見る限り、貴方には明確な定義はなく、漠然としたイメージのみで語っている(過去に語った事とは無関係に、その場で欲しい結論に持っていくのに都合の良い性質をその都度付与している)ように思います。

とは言え、厳密な定義を与えるのも面倒でしょうから、ある程度は直感的な意味を前提に判断の分かれ目になる所のみの確認にします。

「集合Aから集合Bへの対応表」
x→f(x)
y→f(y)
…

があったとして、貴方の思う「対応表」とは次の①と②の性質を持っているのでしょうか？

① 上の段から順に1,2,3,…と全ての段に自然数を振る事ができる
a_1→f(a_1)
a_2→f(a_2)
…
a_n→f(a_n)
…
と言う風に矢印の左側の数字に番号を振れるのかという事です。

②対応表の"→"の左側の数値を集めたもの(x,y,…)は、集合Aと等しい

例えば、Aを自然数の集合とした時に、
2→f(2)
4→f(4)
…
と偶数のみを並べたもなど、一部の対応のみを例示しただけのものも「対応表」と呼べるのかどうかという事です。

なお、

「対応表」の矢印の右側の数値の小数第n位を持ち出して通常の対角線論法を使おうとしているななら、①がyesである事が必要です。

そうやって作った実数が、「対応表」にない事を理由にfが全射でないと結論する(fが全単射であると仮定した時に矛盾であると言う)には、②がyesである事が必要です。

①と②の両方がyesであるのなら、自然数の部分集合から実数への「対応表」は存在しません。(この事は、自然数の部分集合から実数への1対1対応=全単射が存在しない、という事を意味しません)

一般的な「1対1対応(全単射)」で想定しているものは、①がyesである事を前提としません。

Tacosan · Answer

「前回の質問」の「補足」には作り方を書いてないんだよね. 質問本体を含め, 「そのように作った」というのであれば答えは YES.

でもって「ということはつまりこれが自然数の部分集合と実数の1対1対応の表なのですか？」についていえば, こっちは完全に回答不能. 4つの対応しか書いていないのに, なんで「その他の『自然数の部分集合』と実数との対応が理解できる」と思ったのだろうか. 質問するなら, せめて「自然数のあらゆる部分集合」と実数との対応を完全に書いてからにしてほしい.

mtrajcp · Answer

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
g:N→β(N)

1→φ=g(1)
2→N=g(2)
3→{1}=g(3)
4→{2}=g(4)
5→{1,2}=g(5)
6→{3}=g(6)
7→{1,3}=g(7)

があると仮定する

1∈N-g(1)→1∈{x|x∈N-g(x)}
2∈g(2)→2∈N-{x|x∈N-g(x)}
3∈N-g(3)→3∈{x|x∈N-g(x)}
4∈N-g(4)→4∈{x|x∈N-g(x)}
5∈N-g(5)→5∈{x|x∈N-g(x)}
6∈N-g(6)→6∈{x|x∈N-g(x)}
7∈N-g(6)→7∈{x|x∈N-g(x)}

{x|x∈N-g(x)}={1,3,4,5,6,7,…}

{x|x∈N-g(x)}
は
自然数の部分集合だから
それに対応する
自然数
a
があるはずで

g(a)={x|x∈N-g(x)}

となるはずだけれども

aは自然数でg(a)は自然数の部分集合だから

a∈g(a)
または
a∈N-g(a)
のどちらかが必ず成り立つはず

a∈g(a)と仮定すると
a∈g(a)={x|x∈N-g(x)}
だから
a∈{x|x∈N-g(x)}
だから
a∈N-g(a)となって
a∈g(a)に矛盾するから

a∈N-g(a)
だから
a∈{x|x∈N-g(x)}=g(a)
だから
a∈g(a)となって
a∈N-g(a)に矛盾するから

g(a)={x|x∈N-g(x)}
となるような
a
は存在しないから

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
g
は
存在しないから

N
から
実数区間
[0,1]
への1対1対応全射写像
f○g
も存在しない

Tacosan · Answer

うん, 突っ込みどころだらけだ.

1. 「1→f(φ)=0
2→f(N)=0.111…=1(2進数)
3→f({1})=0.1,(2進数)
4→f({2})=0.01,(2進数)
5→f({1,2})=0.11,(2進数)
6→f({3})=0.001,(2進数)
7→f({1,3})=0.101,(2進数)
…

というわけにはいかないのですか？」
のところ, これは何を意味しているのか. 「というわけにはいかないのですか」は「『何が』...というわけにはいかないのか」と問うている? まさかこれから「自然数から実数への全単射が作れるだろ」と主張するとは, 到底考えられないわけだし....

2. 「(0~1)の1番目」よりも「2番目」の方がおもしろいんじゃないだろうか＞#1. あたりまえだが「通常の大小の意味」での「2番目」は存在しないしね.

3. 「というようにジグザグに対応させれば、自然数と実数は1対1に対応させられるのではないでしょうか。」のところ, これができるためには大前提として「(0, 1) (など) が自然数と全単射を作れる」ことが必要なのだが, すると最終的な結論として
自然数から実数への全単射が存在すれば, 自然数と実数を 1対1 に対応させることができる
という主張になるのだが.... いや, その通りではあるんだが.

4. なお「前回の質問」の補足で「0.356343…

という実数は存在しない。○か✖か。

この質問には最後まで答えてもらえなかった。」と書いているが, この「質問」にはそもそもとして答えが存在しない., もっと正確にいうなら
「○と答えても✖と答えても, 『その答えを見てから』それに反するように『表』を作ることができる」のだ. これが理解できないというなら, 次の「問題」を考えればわかる... といいなぁ:
数列 a[n] は
a[1] = 2, a[2] = 4, a[3] = 8
であるという. a[4] はいくつか?

mtrajcp · Answer

自然数の部分集合
Sに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

と対応させられるのです

f(φ)=0
f(N)=0.111…=1(2進数)
f({1})=0.1,(2進数)
f({2})=0.01,(2進数)
f({1,2})=0.11,(2進数)
f({3})=0.001,(2進数)
f({1,3})=0.101,(2進数)
f({2,3})=0.011,(2進数)
f({1,2,3})=0.111,(2進数)
f({4})=0.0001,(2進数)
f({1,4})=0.1001,(2進数)
f({2,4})=0.0101,
f({1,2,4})=0.1101,
f({3,4})=0.0011,

…
と対応できるのです
と書きましたが
これは
すべての実数を並べている訳ではありません

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
の
式の意味を説明するために
自然数の部分集合Sと　実数f(S)との対応の例の１部を並べただけで
すべてを並べることはできないのです
並べられなくても１対１対応は数式によってできる場合があるのです
並べられるかどうかは
１対１対応されられるかどうかとは関係無いのです
並べることと１対１対応させる事は別の問題なのです

fは
自然数の部分集合
S
に対して
n∈S
に対して
2進数小数第n位が1となるような実数を対応させる
写像なのです

0<y<1 となる　yに対して, yを2進数で表したときの小数第n位をy(n)とする
S={n|y(n)=1} とすると
f(S)=y
となるから

この対応f は

β(N)から[0,1]=(0～1までの全ての実数)へ対応しているのです

(0,1)からRへの対応は
h(x)=tan(πx-π/2)
で対応できるのです

h(f(S))=tan(π(Σ{n∈S}1/2^n)-π/2)
----------------------------------------------
集合X,Y
x∈X に対してf(x)∈Yがただ１つに定まるとき
f:X→Y
をXからYへの写像という
写像
f:X→Y
に対して
f(a)=f(b)→a=b
が成り立つとき
fは単射という
fが単射のとき
Xの濃度はYの濃度以下
|X|≦|Y|
となる

写像
f:X→Y
に対して
任意のy∈Yに対して
y=f(x)
となるようなx∈Xが存在するとき
fは全射という
fが全射のとき
|X|≧|Y|
となる

f:X→Yが単射
g:X→Yが全射
なら
|X|=|Y|
となる

tknakamuri · Answer

疑問が一杯
(0~1)の1番目って具体的に何？
πを有限桁の自然数に変換する変換規則は？

必要なのは対応関係の構築に必要な「規則」なんだけど・・・
ただいろいろ書き並べても何の意味もないです。

全然わからないので質問する資格がないかもですが

全自然数の集合

残念ながら

.自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は1対1対応にならない

自然数の部分集合と実数を実際に対応させた場合は1対1対応にならない

過去の回答を全てはフォローできてはいませんが。

「前回の質問」の「補足」には作り方を書いてないんだよね. 質問本体を含め, 「そのように作った」というのであれば答えは YES.

全自然数の集合

うん, 突っ込みどころだらけだ.

自然数の部分集合

疑問が一杯

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