正規数の定義で分からないことがあります。 正規数の定義について専門書において 「xがr進正規であると

正規数の定義で分からないことがあります。



正規数の定義について専門書において
「xがr進正規であるとは、数x,rx,r^2x,.....の全てが
r,r^2,2^3...の全ての進法で単正規であることとする。」…①とありました。

ちなみに、単正規数の定義については
「xがr進数で表されるとし、数bが最初のn個の桁の中でn_b回現れるとする。
xがr進単正規であるとは、とりうるr個のbの値それぞれに対して
n_b/n → 1/r となることを言う。」
とありました。

この場合、正規数の定義（①）に従うと例えば
「2進数表記したときに単正規数になる」かつ「10進数表記したときに単正規数になる」というような条件までは言っていないですよね？


「数x,rx,r^2x,.....の全てが」ということは
「10進数表記した時に単正規数になる」かつ「10^2進数表記したときにも」かつ「10^3進数表記したときにも」・・・ということですよね？

でも一方で調べてみる限り正規数の定義は
「任意のｒにおいて、r進単正規数である」と述べているのが多いのです。

正規数の定義（①）はどんなことを言っているのでしょうか？
数学に詳しい方ご回答お願い致します。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/17 21:42

「

「数x,rx,r^2x,.....の全てが」ということは
「10進数表記した時に単正規数になる」かつ「10^2進数表記したときにも」かつ「10^3進数表記したときにも」・・・ということですよね？
」
のところはなんかおかしい. このうしろの部分は「数x,rx,r^2x,.....の全てが」ではなく「r,r^2,2^3...の全ての進法で単正規である」の r=10 に対する例だよね?

さておき.

「r進単正規」は「r進展開したときに 0～(r-1) のいずれも等確率で現れる」ってことを意味する. ということは「(r^2)単正規」だと「(r^2)進展開したときに 0～(r^2-1) のいずれも等確率で現れる」ってこと.

で, 「(r^2)進展開」と「r進展開」を比較すると, 前者は後者を 2桁ずつ区切った表現であると見ることができる. なので, 「(r^2)進展開したときに 0～(r^2-1) のいずれも等確率で現れる」というのは「r進展開したときに先頭から 2桁ずつ区切ると 00～ (r-1)(r-1) がどれも等確率で現れる」ということを意味する. 10進だと数が大きくなるので書きにくい (100進や 1000進はちょっと扱いたくない) けど 2進と 4進や 8進, あるいは 16進の関係を思い描いてみるといいかもしれない.

と考えると, 「r進正規」は
r進展開したときに 0～(r-1) の任意個の数字列が全て等確率で現れる
って条件になる. ちなみに x だけじゃなくて rx や r^2x などを考えるのは「区切る位置を変えるため」だね. 例えば
0.|12|34|56|78|90|...
0.1|23|45|67|89|0...
って具合.

ああ, Wikipedia によれば「r進正規だけど s進正規ではない」ことがあるらしいよ.

この回答へのお礼

わ〜ありがとうございます…！！感動しました。
ここで言っている定義がよく分かりました。

1つ確認なのですが、
最後のr進正規の定義の言い換えとして挙げられていた
「r進展開したときに 0～(r-1) の任意個の数字列が全て等確率で現れる」というのは
xをr進法で表したときの、任意の数の組み合わせb_1b_2…b_kが特定の頻度で現れる ということを言っているのでよろしいですか？？

よろしければなのですが、お時間あればこちらの質問も教えて頂きたいです…！

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/13534289.html

お礼日時：2023/07/18 14:23