帰納法

2のn乗 < n! (n ≧ 4) が成立することを数学的帰納法で証明

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/08 22:37

n=4のとき

　n!/2ⁿ=4・3・2/(4・2・2)=(4/4)(3/2)(2/2)=3/2>1
で与式は成立。

nのとき
　n!/2ⁿ>1
をかていすると
n+1のとき
　(n+1)!/2ⁿ⁺¹=((n+1)/2)n!/2ⁿ>(n+1)/2>1 (n≧4)
となり、n+1でも与式は成立。

よって、命題は証明された。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/09 01:15

n = 4 のとき：

2^n = 16 < 24 = 4! で与える式は成立する。

n = k ≧ 4 で与式が成立すると仮定すると：
仮定より 2^k < k!
また 2 < k+1
両式の辺々を掛け算して、 2^(k+1) < (k+1)!
すなわち、 n = k+1 でも与式は成立する。

以上より、数学的帰納法によって
n ≧ 4 で任意の自然数 n について与式は成立する。