数学微分についての質問です。 小テスト的なものにこの問題のイのような問題が出るらしいのですが、解き方

数学微分についての質問です。
小テスト的なものにこの問題のイのような問題が出るらしいのですが、解き方がわからないです。
(問題は垂直→平行らしいです。)
またとりあえず最初から解いているんですが、Cを微分して接線の方程式に入れるのは分かるんですが、x,y 座標をt,t³-1と置いているのが分からないです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/26 06:09

y=x^3+1

y'=3x^2
CとLとの接点(x,y)はy=x^3+1上の点だから
x=t
とすれば
y=t^3+1
だから
接点は(t,t^3+1)
接線の傾きは3t^2
だから
接線Lの方程式は
y=(3t^2)(x-t)+t^3+1
y=(3t^2)x-2t^3+1
これが(0,-1)を通るから
-1=-2t^3+1
2t^3=2
t^3=1
t=1
接線Lの方程式は
y=3x-1

接点は(1,2)
接線の傾きは3
に垂直な傾きは-1/3
y=(-1/3)(x-1)+2
Lに垂直な直線の方程式は
y=(-1/3)x+7/3

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/26 06:01

Cの接線の方程式は、接点Pを

P=(u、u³+1)とすると

任意の関数f(x)のx=uでの接線は
y-f(u)=f'(x)(x-u)
だから
y-(u³+1)=3u²(x-u)
これが、(0、-1)を通るので
-1-(u³+1)=-3u³ → 2u³=2 →u=1
方程式は
y-2=3(x-1) →y=3x-1