定義に従った微分係数の求め方

f’(a)が 1/3・a^-2/3
になると思うんですが、写真の一番下のｆ’(a)の右辺が何故その形になるのか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/21 09:39

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

を使う。a=(x+h)¹/³ , b=x¹/³ として
　{(x+h)¹/³ - x¹/³}/h
・・・・分子分母に{(x+h)²/³ +(x+h)¹/³x¹/³+x²/³}を掛けて

　={x+h-x}/{(x+h)²/³ +(x+h)¹/³x¹/³+x²/³}h
　=1/{(x+h)²/³ +(x+h)¹/³x¹/³+x²/³}
h → 0 とすると
　 → 1/{3x²/³}

この回答へのお礼

なるほどです。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/21 12:39

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/21 10:04

No.2 です。

#1 さんのやり方は、なるほど、素晴らしいです。
それなら高校生レベルでも納得できると思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/21 10:00

＞f’(a)が 1/3・a^-2/3

になると思うんですが、

f(x) = x^(1/3)
という問題なのですか？

下から2行目の「導関数」の定義式に、f(x) = x^(1/3) をあてはめればよいのですが、

f(x + h) = (x + h)^(1/3)

は高校生のレベルでは展開できませんね。
（大学生以上になれば「テイラー展開」というもので多項式に展開できますが）

なので、高校生レベルでは、
　f(x) = x^n
の「n が自然数のとき」で導関数を導いて、「n を自然数以外に拡張しても成り立つ」ということで考えるしかありません。
原理原則は大学に行ってから学ぶとして、高校では「それを使って何ができるか」を考えた方がよいでしょう。


「導関数の定義式」は、それが「y = f(x) の各 x における接線の傾き」になっていることを、グラフから納得しましょう。f(x) がどんな関数であっても、それは成り立ちますから。
一番下の式は、単にその1行上の「導関数の定義式」に x=a を代入したものに過ぎません。

「導関数の定義式」と一番下の式が等価であることが納得できませんか？

「導関数の定義式」で
　x + Δx = X
と書けば、
　x = X - Δx
　Δx = X - x
なので、定義式の「極限式」の中身は
　[f(x + Δx) - f(x)] / Δx
= [f(X) - f(x)] / (X - x)

これに x=a を代入すれば
　[f(X) - f(a)] / (X - a)
ということになります。
　X = a + Δx
ですね。

「極限式」の Δx → 0 は X → a ということになります。
ただの変数の記号なので、「X」をあらためて「x」と書けば、一番下の式になりますよね？

この回答へのお礼

変数の記号のところは、直しても問題ないのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/21 12:37