なぜ－∞や＋∞になるのか考え方を教えてください

ｇ(a)=(2a^2+2a－2)/a^3のとき、lim(a→+0)g(a)=－∞、lim(a→－0)g(a)＝∞
となる考え方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2022/12/11 13:38

ｇ(a)=(2a^2+2a－2)/a^3を変形して、

ｇ(a)=2/a+2/a^2－2/a^3
aが正で＋０に十分近い値から近づくとき、
各項の大きさの順は、
2/a＜2/a^2＜2/a^3
です。
例えば、a=0.1を考えます、
2/a＝２０
2/a^2＝２００
2/a^3＝２０００　よって、
ｇ(０．１)＝2/a+2/a^2－2/a^3＝ー１７８０
aが＋０により近づくほどｇ(a)は大きな負の値になります。

aが負でー０に十分近い値から近づくとき、
各項の大きさの順は、
2/a^3＜2/a＜2/a^2
です。
例えば、a=ー0.1を考えます、
2/a^3＝ー２０００
2/a＝ー２０
2/a^２＝２００　よって、
ｇ(ー０．１)＝2/a+2/a^2－2/a^3＝２１８０
aがー０により近づくほどｇ(a)は大きな正の値になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/11 14:22

No.1 回答者： Glory_777 回答日時： 2022/12/11 13:35

グラフを書いてみる（簡単な値をいれて０に近づけて計算してみる）

と様子が分かると思いますよ。

以下は蛇足です。

ご質問のこの数式の考え方と言うより、数式自体の捉え方、数式って
何なのか？　こちらを先に考えると面白い話だと分かりますよ。

「分母が０に近づいて分子の方がそうじゃない場合（または分母が０
　に近づくスピードより遅く０に近づいていく）、値が無限大になる
　と言うのは何となく知ってるだろ？　そこで考えを止めていないか
　い？　例えば符号を考えてるかい？　マイナスの方向で無限大なの
　にプラスの方向で無限大になると思い込んでたら、その間違いは途
　方もない距離になるだろ。考えられるなかで最も大きな間違いだ」

「ああ、符合も意識して考えてるさ」

「じゃあ、プラス方向から近づけた時と、マイナス方向から近づけた
　時でどうなるのか考えたかい？」

「え・・・うっそ。どっちでも同じだと思ってた。すっげ。
　通る道筋や過程で見える世界が変わるということなんだねえ。
　まるで人の世の過ちについて述べたみたいな話だ」

「そそ。数学者ってそういう話を記号で表現するのが好きなんだよ。
　その上で誰もが気づかないの面白がっている」

「そう言えば大きな布を切って二つの布に分けようと考えた学者が古代
　にいたよ。正方形の布を切って分ける。余計な切れ端をつくらずに二
　つの小さな正方形に分けるんだ。そうそう。数式で描いてみ。
　次はサイコロの様な大理石だ。これを余さずに二つの小さなサイコロ
　に分けるわけだ。うまくいかない・・・布はいけたのにね。これはや
　り方が悪いのか、それとも最初から無理なのか？　もし無理なんだと
　したら未来の誰かが同じことで悩まないように書きおこして残してあ
　げるべきだよね。と言う訳で有名な数式が残された」

「数式を作った人によっては親切だったりシニカルだったりするよな」

「性格が良く出るよね」

数式と言うのは幾らでも作れます。しかし、その中から自分が言いたい
ことを選ぶわけです。元の意味が失われている場合が多いです。ですが
やっぱり、その数式を出した人のコメントが凄い大事なんですよ。例え
ば「・・・を満たすｎとｍは存在しない」みたいな証明問題があったと
します。後の世の人はその命題を一生懸命考えている。しかし、数式を
そのまま直訳してしまっていて難しく感じられるんです。しかし実際の
作者は「・・・という二つに分ける事が出来ない」と述べていたりしま
す。この人は綺麗に分けたかったんですよ。生活の為に。

なので「こいつこの式で何を言いたいのよ？」と突っ込みを入れてみる
と面白いですよ。そのためには正解しようとするのではなく、そうなる
としたら面白いね、言いたいことは分かった。とはいえ試すか？　みた
いなものだと思って取り組むのが良いでしょう。

この式に関しては「関数が何であるかは適当。どちらから近づけるかで
大きく変わるので、そう言う事意識してない人多いですよ。式を式のま
ま解こうとするのもいいけど、たまには実際にどうなっているのかグラ
フを書いてみようよ。面倒臭がらずにね。面白いでしょ？」みたいな部
分が本質だと言う事です。

解かないと怒られると思っている人と、
こいつ何か言いたいんだな？　と解釈する人がいる。
ってことです。後者で入り、取りあえず解こうとする。
そういう感じで頭を使うと良いですよ。
頭が回る様に成ります。

以上、ご参考になれば。

この回答へのお礼

大変参考になりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/11 14:22