広義積分の収束条件

この広義積分が収束するためのｐの条件とその時の積分値を教えてください。（p>0）

D={(x,y,z)|0<x^2+y^2+z^2<=1}
∫∫∫[D](x^2+y^2+z^2)^(-p/2)dxdydz

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/24 12:27

球座標変換すると

　J=r²sinθ
　x²+y²+z²=r²

　∫∫∫[D](x^2+y^2+z^2)^(-p/2)dxdydz
　=∫[r=0,1] ∫[θ=0,π] ∫[φ=0,2π] r^(-p+2) sinθdθdφdr
　=2π(∫[θ=0,π]sinθdθ)(∫[r=0,1] r^(-p+2) dr)
　=4π[r^(-p+3)/(-p+3)][1,0]
　=4π/(-p+3)

つまり、p≠3 のとき、収束する。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/24 13:27

なるほど誤りました。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/26 16:18

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/24 13:19

おしい。

その計算の結果、答えは p < 3.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/26 16:18

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/24 10:42

r = (x^2+y^2+z^2)^(1/2)

とおいて変数変換すると
　　∫∫∫f dxdydz = 4π∫(r^2)f dr
あとは簡単でしょ。