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括弧足らずで式が変になっているのでは?
{ log((n+1)(n+2)・・・・(n+n)) }/n^n
= log((1+1/n)(1+2/n)・・・・(1+n/n))
は、間違っています。 もしかして、
log{ ((2n)Pn)/n^n } = log{ (n+1)(n+2)・・・・(n+n)}/n^n }
= log{ (1+1/n)(1+2/n)・・・・(1+n/n) }
という話だったのではないですか?
分母の n を 1個づつ分子の ( ) に割り当てていけば、
(n+1)(n+2)・・・・(n+n)}/n^n
= ((n+1)/n)((n+2)/n)・・・・((n+n)/n)
= (1+1/n)(1+2/n)・・・・(1+n/n)
にはなります。
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