何日で出られますか。

次のような監獄があるとします。

囚人は、とりあえずは、最低n日間、収監されます。

部屋に画面と押しボタンがあって、画面には残りの収監日数が表示されています。(初日はnと表示)。
囚人は、ボタンを(初日から)、日に１回だけ押すことになっています。ボタンを押すと「順調です」または「アウトです」の音声とともに、画面の数字が変化します。

「順調」だと数字が1つ減ります。そして、順調な日が続いて数字が0になると、翌日、釈放されます。

しかし、「アウト」だと、数字はnに戻ります。つまり、翌日から、さらに最低でもn日間、収監が続きます。

この「順調」になるか「アウト」になるかはルーレットになっていて、「アウト」が出る確率はp=1/nに設定されています。(ただし、最低収監日数であるnは、2以上とする)

囚人は、平均して何日で出られますか。

No.7 回答者： qas2021 回答日時： 2023/04/23 16:46

No.6を一部修正

n をかけるのを忘れていました。

誤）従って、求める期待値は、(1 - 1/n)^(-n) 以下であることが分ります。

正）従って、求める期待値は、n・(1 - 1/n)^(-n) 以下であることが分ります。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2023/04/22 17:10

計算方法は既に記載されているので、No.5さんのいう「平均」が収束するかどうかについて別法で示します。

釈放されたとしても、ボタンを毎日押すと考えます。

初日からn日間毎に日を区切ります。
m を0以上の整数として、(nm + 1) 日目から (n(m + 1) - 1) 日目で連続 n 回「順調」となる確率は (1 - 1/n)^n。

初めて連続で「順調」となった区間を X 番目とすると、X は幾何分布 Ge((1 - 1/n)^n) に従い、の期待値は (1 - 1/n)^(-n) です。

実際には、(nm + 1) 日目から (n(m + 1) - 1) 日目の区間以外でも n 回連続「順調」となりえますので、釈放されるまでの日数は X 以下。

従って、求める期待値は、(1 - 1/n)^(-n) 以下であることが分ります。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/22 14:32

答えだけ探すなら、No.4 の言うとおりかな。

数学の話としては、「平均」が収束するかどうか
が欠かせない話となるが、これはけっこう面倒くさい。

以前の質問と同様に、
k 日以上収監される確率を q(k) と置いて
q(1) = q(2) = q(3) = ... = q(n) = 1,
k ≧ n のとき q(k+1) = Σ[i=0..n-1] q(k-i)・(1-p)p^i,　←[1]
E = Σ[k=n→∞] ｋ・{q(k) - q(k-1)}.
の E を求めればよいのだが、
この解法は途中で頓挫することになる。

理論的にはこの解法で簡単で、
Q(k) = q(k)/p^k と置けば
[1] は Q(k) についての n+1 項間線型漸化式となる。
斉次線型漸化式の解法は多くの教科書に載っていて、
漸化式の特性方程式を解いて
特性根を底とする指数関数の線型結合を作ればよい。
線型結合の係数は、初期条件から定まる。
...だけのことなのだが、[1] の場合
特性方程式が n次方程式になってしまうので、
n ≧ 5 の場合、方程式を解くことが現実的でない。

それでも、特性方程式を立てて f(x) = 0 と置くことはできるので、
n次多項式 f(x) の性質を定性的に調べて
E が収束することを示すことまではできる。
実際、特性根は 1 がひとつと絶対値 1 未満の虚数根となる。

具体的な E の値は、以上の計算を根拠に
No.4 の方程式から求めることになるだろう。

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/22 06:58

解き方がわからないという質問と理解して回答します。

誤解していたらすいません。予めお詫びします

考え方は以前の２つの質問
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13417520.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13435325.html
と同じで
「アウトです」を「表が出る」、「順調です」を「裏が出る」に読み替えて、
「平均してX日で出られる」として方程式を立てればよいだけです
なお、前回までのコインの場合は、
　「表が出る」「裏が出る」がそれぞれ確率 1/2
でしたが、今回は
　「アウトです」は1/n、「順調です」は (n-1)/n
になっているのですよね

「X日で出られる」の内訳は、
1日目に「アウトです」が出れば、１＋X日で出られる
1日目が「順調です」の場合は2日目が「アウトです」の場合と「順調です」の場合で場合分けする
「順調です」「アウトです」なら、2+X日で出られる
「順調です」「順調です」なら、３2日目が「アウトです」の場合と「順調です」の場合で場合分けする
以下同様に
K日目まで「順調です」が続く場合はK+1回目が「アウトです」の場合と「順調です」の場合で場合分けする
そしてN回目まですべて「順調です」が続く場合はこれで終わりなので、N日で出られる

これを具体的な式で書けばOKです。
具体的な式は、nの式が導かれるはずですので、頑張ってください！

No.3 回答者： qas2021 回答日時： 2023/04/21 23:25

> 違います。

> n=2で最短の場合は2日で出たとします。(2日間収監された)

ということは

> (初日はnと表示)。

は間違いと言うことでしょうか？

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2023/04/21 06:08

n = 2 のとき、最短でも

初日：2
2日目：1
3日目：0
4日目：釈放
となりますが、この場合何日で出られたとなるのでしょうか？

また、貴方はどこまで考えてどこが分らなかったのでしょうか？

No.1 回答者： libuttery 回答日時： 2023/04/20 14:20