1980 年代後半のバブル経済の頃 日本では預貯金金利が年7%を超えることもあり ました。 金利を7

1980 年代後半のバブル経済の頃 日本では預貯金金利が年7%を超えることもあり ました。 金利を7.0%として100万円の元本を複利で運用するものとします。 この とき. 元利合計額が200万円を超えるのは何年後でしょうか? (ただし、 税金は考 えないものとする。 答えは整数 (小数点以下切り上げ)でよい。 また、 計算式ある いは考え方の簡単な説明もお願いします

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/21 15:50

No.2 です。

#2 に書いたのが数学的な「数式」ですが、#1 さんはその「簡易的な運用式」を使っていますね。

#2 に書いた複利の元利合計の式

　A(N) = A0･(1 + R)^N　　　①

で、当初の元金の2倍になる
　A(N) = 2A0
を①式に代入して

　2A0 = A0･(1 + R)^N

より

　(1 + R)^N = 2　　　②

これを後でテイラー展開するので「自然対数（e を底とした対数）」をとります。自然対数を「 log[e](x) = ln(x)」と表記すると

　N･ln(1 + R) = ln(2)　　　③

ここで、ln(1 + R) をテイラー展開すると

　ln(1 + R) = R - (1/2)R^2 + (1/3)R^3 - (1/4)R^4 + ･･･

となります。
ここで、R=0.07 のように 1 に比べて小さい値の場合には
　R^2 = 0.07^2 = 0.0049　　←約0.5%
　R^3 = 0.07^3 = 0.000343　　←約0.03%
　R^2 = 0.07^4 = 0.00002401　　←約0.002%
となって高次項ほど極端に小さくなるので、１％程度の精度で近似計算するには「１次項」までで十分そうです。

従って
　ln(1 + R) ≒ R
と近似して、③は
　NR ≒ ln(2)
→　N ≒ lh(2) /R　　　④
となります。

ここで、金利を % で表わすために
　R ＝ｒ/100
（r が % で表わした金利）
とすれば、④は

　N ≒ 100ln(2) /r ≒ 69.3/r

となります。
（ln(2) = 0.693147･･･ は関数電卓で計算してください）

この「69.3」を「いろいろな r の値で割り切れやすいように」という配慮で「72」としたものが #1 さんの式のようです。

そのときの「誤差」は、下記のサイトなどを参照してください。
↓
https://yukinosuke35.blogspot.com/2018/11/RuleOf …

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/21 11:41

複利計算の式を立てれば、金利 R で、最初の元金 A0 に対する N 年後の元利合計は

　A(N) = A0･(1 + R)^N

になります。
金利が R = 7% = 0.07 であれば

　A(N) = A0･1.07^N

です。

A(N) = 2A0 になるのは

　2A0 = A0･1.07^N

より
　1.07^N = 2
両辺の「常用対数」（底が「10」の対数）をとれば
　N･log(1.07) = log(2)
→　N = log(2)/log(1.07)

関数電卓をたたけば
　log(2) = 0.301029･･･
　log(1.07) = 0.0293837･･･
なので
　N = 10.2447･･･ ≒ 10.2
よって、11年以上で確実に2倍以上になります。

関数電卓は、スマホの電卓アプリでも、下記のようなweb上の電卓も使えます。
↓
https://www.desmos.com/scientific?lang=ja

No.1 回答者： siromaria 回答日時： 2023/07/21 01:11

複利効果を前提の出題ですので72の法則の問題です

72÷7=10.285…

なので約10年です