逆関数についてですが、なぜ、(f(x),x)はx=f(y)上にあると言えるのですか？

逆関数についてですが、なぜ、(f(x),x)はx=f(y)上にあると言えるのですか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 12:05

x の字の使い方が話をややこしくしてるかな？

質問文中の (f(x),x) と x =f(y) では、 x の指すものが違う。

点 (f(t),t) を考えるとき、(x,y) = (f(t),t) と置くと、
x = f(t), y = t だから t を代入消去すれば x = f(y) が成り立つ
ってだけの話。

x が (f(t),t) の x座標を指すのか y座標をさすのか
ごっちゃにすると、何言ってるのか判らなくなる。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/25 15:38

ベクトルの内積と媒介変数表示からでも可能と思いますのでチャレンジください！

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/25 15:35

y=f(x) 上の点A(a,b)をy=xに関して折り返した点をB(b,a)とすれば

(a,b)と(b,a)はy=xにおいて対称だから両点の中点がy=x上の点だから
『A(a,b)とB(b,a)はy=xに関して対称』の証明として
2点A,Bは直線ABに垂直で、
その中点を通る直線に関して
対称になります。

A(a,b)とB(b,a)の傾きは
(a-b)/(b-a)=-1

よって直線ABに垂直な直線(法線)の傾きは1

またA(a,b)とB(b,a)の中点Mは
M((a+b)/2,(a+b)/2)

従って　傾き1でMを通る直線はy=xです。