写真の数学の質問です。 逆が成り立たないときの判断方法を教えてください。

写真の数学の質問です。

逆が成り立たないときの判断方法を教えてください。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい。言い方が悪かったです。
  逆が成り立たないときの示す仕方ではなく、逆を示す必要があるときの判断の仕方を教えてください

    補足日時：2023/09/02 22:07

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/07 21:37

逆が成り立たない例)

4次関数
f(x)=2x^4-6x^3+2x^2+2
とすると
f'(x)=8x^3-18x^2+4x=2x(x-2)(4x-1)
f(2)=-6
f'(2)=0
x=2で極小値-6
f(0)=2
f'(0)=0
だけれども
x=0でf(0)=2は極大値ではない

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 23:23

No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞この問題では、極大値と極小値とxを代入して、連立してabcdを求めるのですが、その後にabcdを代入して極大値と極小値を求めて、元の値と同じになるかを確認します。
＞その理由が、必要条件しか最初の段階では示せていないからとのことです。
＞では、どうやって必要条件しか求めていないことがわかるのでしょうか？

だって、f'(x)=0 となることだけからは、それが
　「極大」か「極小」か「変曲点」
であるということだけしか分かりませんよ？

「極大」なのか、「極小」なのか、はたまたどちらでもない「変曲点」なのかは、確認してみないと分かりませんよ？

つまりは「f'(x)=0」は「極大」「極小」「変曲点」のいずれかであるための「必要条件」なのであって、そのどれであるかを決定する「十分条件」にはなっていないからです。

3次曲線は、a の正負で方向が逆転しますから、どちらが「極大」「極小」になるかは、最後まで分かりません。

あなたは、本当にこの問題を自力で最後まで解いてみたのですか？
自分で解いてみれば分かるはず。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 22:53

No.1 です。

「補足」について。

＞逆を示す必要があるとき

それって何ですか？
どういう意味？

この回答へのお礼

この問題では、極大値と極小値とxを代入して、連立してabcdを求めるのですが、その後にabcdを代入して極大値と極小値を求めて、元の値と同じになるかを確認します。
その理由が、必要条件しか最初の段階では示せていないからとのことです。
では、どうやって必要条件しか求めていないことがわかるのでしょうか？

お礼日時：2023/09/02 22:58

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/02 21:03

「逆が成り立たないときの判断方法」は、

成り立たない事例を 1つ見つければ良いです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 14:37

「逆が成り立たないとき」に

いつでもそれが判断できる一般的なマニュアルは存在しない。
それぞれの問題に即して、個別に知恵を使わないとね。

P(x) ⇒ Q(x) の逆が成り立たないことを示すには
P(x) ∧ ¬Q(x) を満たす x を見つければよいわけだが、
P(x) や Q(x) が数式で表されていれば
これを一種の方程式とみなすことができるのかもしれない。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 11:48

＞逆が成り立たないときの判断方法

成り立つか、成り立たないかを判断すればよいだけ。

「成り立たない」と判断するには、「反例」を1つでも見つければよい。

「（常に）成り立つ」を判断するのは結構難しい。
「公理」とか「定理」などをうまく活用することが多いが、「例外」を見つける「想像力」も必要。
たとえば「人間であれば2足歩行する」は、赤ちゃんや老人、障がいのある人を考えると「常に成り立つ」とは言えない。
「2足歩行すれば人間である」は、ペンギンや「立ち上がる風太」（ちょっと古いか）を想像すれば否定できる。