大学受験、数学の問題 やさしい理系数学

正の整数a,b,cが a^2+b^2=c^2をみたすとき、a,bのいずれかは4の倍数であることを証明せよ。

という問いで、16の倍数+余り、と解答にありますが、これは4の倍数ではだめなのでしょうか？

やさ理例題3です。

No.3 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2012/02/29 23:52

「a，bのいずれかは４の倍数である」ことの証明ですよね。

４で割り切れない偶数でも平方すれば４の倍数になってしまうので，
a^2+b^2=c^2を４で割った余りで考えても何も出てこないはずです。

なお，16で割った余りを考えるときは，奇数の平方の余りは１以外にも
９の場合があることに注意です。場合分けを増やさないようにと，８で
割った余りを考えてはどうかとも思いますが，aとbがともに４で割り切
れない偶数のときにc^2が８で割り切れるというだけでは矛盾が出ない
ので，やはり16で割った余りを考えなければいけないようです。

ちなみに，本問では使えそうで使えませんが，
「平方数が８で割り切れるならば，その平方数は16で割り切れる」
というのはしばしば用いられます。

この回答へのお礼

理解出来ました！ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/01 08:28

No.2 回答者： dormitory 回答日時： 2012/02/29 20:53

ピタゴラスの定理って、ある種の不定方程式ですよね。

自然数であって且つ三変数に共通因数がない、という前提のもとに解く、でしたか。

No.1 回答者： Parinne 回答日時： 2012/02/29 19:01

高校受験レベルの問題ですよ。

ヒントです。c^2-b^2=（c+b)(c-b)　別にaでもいいけどね。

訳のわからない解答よりは、自分で筋道を立てて解く事を薦めます。

この回答への補足

解答の説明を求めています。

解答では16で割った余りを比較してるが、4で割ったらダメなのかと聞いています。

補足日時：2012/02/29 21:25