∫1/sinxdxの不定積分で 分母・分子にsinxをかけると ∫sinx/sin^2xdx =∫s

∫1/sinxdxの不定積分で
分母・分子にsinxをかけると
∫sinx/sin^2xdx
=∫sinx/(1-cos^2x)dx
cosx=tとすると
dt/dx=-sinx
与式=∫1/(t^2-1)dt
=1/2∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=1/2log{(t-1)/(t+1)}+C
= 1/2log{(cosx-1)/(cosx+1)}+Cとしたんですが、

解答は1/2・log(1-cosx)/(1+cosx) + Cとなっていました。

何で自分はlogの部分が逆なんでしょうか？教えていただき

質問者からの補足コメント

• たいです

    補足日時：2023/09/24 23:03

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/24 23:17

-1 ≦ cos(x) ≦ 1 ですから

　cos(x) - 1 ≦ 0
になってしまって、対数の「真数条件」を満足しません。

与式で「sinx」が分母にあることから、
　x≠0, π
が前提条件になっており
　0 < cos(x) + 1
は成立します。

従って、積分結果が
　log|cosx - 1| - log|cosx + 1|
であることから、絶対値を外すと
　log|cosx - 1| = log[-(cosx - 1)| = log(1 - cosx)
　log|cosx + 1| = log(1 + cosx)
になります。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/09/25 09:45

∫(1/x)dx=log|x|+C

ですね。
絶対値の記号||をつけましょう。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/25 00:36

https://mathwords.net/cosecbisekibun
No1の言われるように対数の真数条件を満たす必要があるので
絶対値を外すときに逆になります