無限級数のこと

いつもありがとうございます。
無限級数の問題です。添付ファイルをご覧ください。

無限級数は、足す順序を入れ替えたり、途中に（　　）を付けてはいけない　と思うので、この解答はダメだと思うのですが…

ダメですよね？？

No.5 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2023/12/14 20:10

問題と解答, どちらも「ダメ」だ.

問題に関しては, 最初の7項だけを書いて, 続きは勝手に想像しろというのだから, 完全な欠陥問題だ.
先に解答を読めば, 調べるべき無限級数は (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/9 + 1/8) + …… だと推測できるが,
画像の 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/8 + 1/27 + …… とは別の無限級数だ.
どちらの無限級数も収束し, 和も等しいけれど, そのことをきちんと説明する必要がある.
その解答は, その説明を省略している（というか, 説明する必要があることを理解していない）ので, 正しいとはいえない.

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/14 21:42

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/12 16:21

任意のε>0に対して

n_0>1+1/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
3^(n-1)≧2^(n-1)≧n-1>n_0-1>1/ε
1/2^n<ε/2
1/(2*3^{n-1})<ε/2

|Σ_{k=1～n}{1/3^(k-1)+1/2^k}-(5/2)|
=|(1-1/3^n)/(1-1/3)+(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)-(5/2)|
=|(3/2)(1-1/3^n)+1-1/2^n-(5/2)|
=|-1/(2*3^{n-1})-1/2^n|
≦1/(2*3^{n-1})+1/2^n
<ε/2+ε/2
=ε

だから極限の定義から

lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}{1/3^(k-1)+1/2^k}=5/2

に収束する

この回答へのお礼

ε-N論法ですよね。

高校数学なので、高校までで習う事で対処したいんです

ありがとうございました。

お礼日時：2023/12/14 21:42

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/12/12 09:39

定理により、正項級数の順序は入れ替えてもよい。

いずれにしても
　Σan=1+1/2+1/3+1/4+1/9+1/8+1/27+1/16+1/3・27+…
　　≦1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/16+1/16+…
　　≦1+2(1/2+1/4+1/8+1/16+…)
　　 → 1+1/(1-1/2)=3
だから、収束は明らか。

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/14 21:40

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/12 09:17

駄目じゃないです。

Σ[n=1→∞]{ a(n) + b(n) }
= lim[N→∞] Σ[n=1→N]{ a(n) + b(n) }
= lim[N→∞] { Σ[n=1→N] a(n) + Σ[n=1→N] b(n) }　←(＊1)
= lim[N→∞] Σ[n=1→N] a(n) + lim[N→∞] Σ[n=1→N] b(n)　←(＊2)
= Σ[n=1→∞] a(n) + Σ[n=1→∞] b(n).

質問の「順序を入れ替えたり、途中に（　　）を付けてはいけない」に
関係する箇所は上記の (＊2) の部分です。
(＊1) は、有限 N 項の Σ を分けてるだけですからね。

そして、(＊2) は、
S(N) = Σ[n=1→N] a(n), T(n) = Σ[n=1→N] b(n) と置けば
lim[N→∞] { S(n) + T(N) } = lim[N→∞] S(n) + lim[N→∞] T(N)　←(＊3)
です。

lim[N→∞] S(n) と lim[N→∞] T(N) が両方収束するとき、
lim[N→∞] { S(n) + T(N) } も収束して (＊3) が成り立つ
...という定理は、高校の教科書にも書いてあります。

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/14 21:40

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/12 09:09

だめですね。

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/14 21:40