ダランベールの解

ダランベールの解の
ζ=x-vt
η=x+vt
の意味がわからないです
この数式はどこから出てきたのですか

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/23 18:43

よく、物理の教科書に書いてあるよ。

これね。↓
https://www.mynote-jp.com/entry/wave-equation-an …
数学的に正しく計算しようとすると
背景の理屈の説明がけっこうたいへんなんだけど、
物理としては、リンク先程度のラフな説明でいいんじゃなかろうか。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/01/21 10:07

ζが進行波の位相，ηが後進波の位相ですよ。

１次元の波動方程式は du/dζ=0, du/dη=0 です。例えば f(ζ）という関数を考察してみましょう。
　ある時刻 t0 に x0 で観察される波が f(x0-v*t0)=f0 だとしましょう。さて，それから Δt だけ経った t1=t0+Δt に，場所 x1=x0+v*Δt のところで観察される波はどうなっているでしょう。つまり

f(x1-v*t1)=f(x0+v*Δt-v*[t0+Δt])=f(x0-v*t0)=f0

になります。つまり，f は，x の正方向に速度 v で進む波現象を表した関数だということね。だから g(x+v*t) は，x の負の方向に速度 v で進波ってわけだ。それを，もしかしたらダランベール先生は，物理ではなく数学で純粋に分解できたのかもしれませんが，どうやって先生の脳みそでこれが現れたかについては知りません。結果は上の通りです。
　ま，二階の微分方程式の両辺の「分母（ってのは変だが）」だけをじぃーっと眺めると，x^2 と v^2*t^2 のように見えるからねぇ・・・