No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Σ_{n=1~∞}a_nが絶対収束するとする
S_n=Σ_{k=1~n}|a_k|
とすると
{S_n}は収束するからコーシー列
だから
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
|S_m-S_n|=Σ_{k=n+1~m}|a_k|<ε
s_n=Σ_{k=1~n}a_k
とすると
m>n>n_0
となる任意の自然数m,nに対して
|s_m-s_n|
=|Σ_{k=n+1~m}a_k|
≦Σ_{k=n+1~m}|a_k|
=|S_m-S_n|
<ε
だから
{s_n}も実数のコーシー列だから
s_n=Σ_{k=1~n}a_kは収束するから
∴
Σ_{n=1~∞}a_nが収束する
No.2
- 回答日時:
Σ[n=1,∞]a_nが実数項級数ならば以下のようにしてもよい:
a_n≦|a_n|、-a_n≦|a_n| だから
0≦|a_n|-a_n≦2|a_n|ゆえ
正項級数
Σ[n=1,∞](|a_n|-a_n)は収束する。
ゆえに
Σ[n=1,∞]a_n=Σ[n=1,∞]|a_n|-Σ[n=1,∞](|a_n|-a_n)
は収束する。
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