この画像の問題の(2)ですが、なぜx→∞の時はx>1として考えても良いのですか？

この画像の問題の(2)ですが、なぜx→∞の時はx>1として考えても良いのですか？
３時間考えても分かりませんでした

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/12 23:24

lim[x→∞] f(x)=a という式は、

x を十分大きくとれば、f(x) はいくらでも a に近づけられることを表す。
もう少し正確に書くと、
どんな正数 ε に対しても、うまい正数 δ をとれば
x > δ のとき ｜f(x) - a｜ < εが成り立つようにできることを表している。

とある ε に対して x > δ₁ のとき ｜f(x) - a｜ < εが成り立つならば、
δ₁ と 1 のどちらよりも大きい数のひとつを δ₂ とすれば
x > δ₂ のとき ｜f(x) - a｜ < εが成り立つ。

つまり、ε に対して適切な δ を探すとき、δ の範囲は 1 より大きいもの
だけを考えても問題がなく、x が 1 より小さい場合のことは考える必要がない。

No.5 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/02/12 22:58

x → ∞は x → + ∞の事であるから、+∞ > 1 であるから、x → + ∞ならば、当然ながら 1 より大きいとみなせる。

絶対値が 1 より小さかったら有限ですからね。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/12 22:46

写真はさっぱり見えんけど、ともあれ一般に、「x→∞ でナニカがどうなるか」という話においては、ある実数Mについて、x＜Mの場合にそのナニカがどうなっていようがまるで関係ない。

で、ご質問ではM=1。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/12 22:46

x→∞の時に、x が 1 よりも『小さい』ことはあり得ますか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/12 22:42

任意のε>0に対して

K=1+1/ε^2
とすると
x>K となる任意のxに対して
x>K=1+1/ε^2>1
x>1/ε^2
ε^2>1/x>0
ε>1/√x
だから
(1)から
0<logx<√x
各辺をx(>0)で割ると
0<(logx)/x<1/√x
|(logx)/x|<1/√x<ε

だから極限の定義から

lim_{x→∞}(logx)/x=0

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/12 22:29

うっそー?????