媒介変数を使っての体積の出し方を教えてください

「座標平面において、曲線C：ｘ＝sint y=sin2t (0≦ｔ≦π/2) を考える。
(1)曲線Ｃ上でｙ座標が最大である点は(√□/□、□)である。
(2)曲線Ｃとx軸で囲まれる部分の面積は□/□である。
(3)曲線Ｃとｘ軸で囲まれる部分をｙ軸の周りに1回転してできる立体の体積は□/□π＾2である。」
という問題の(3)について

媒介変数のまま体積を計算する方法を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/22 22:08

V=∫[0,1] (2πx)ydx

　=∫[0,π/2] 2πsint・sin2t・cost dt
　=π∫[0,π/2] sin²2tdt
　=π∫[0,π/2] (1-cos4t)/2 dt
　=π(π/2)/2=π²/4

この回答へのお礼

お礼日時：2024/02/25 08:52

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/22 21:33

π∫_{π/2～π/4}2{(sint)^2}cos(2t)dt

-π∫_{0～π/4}2{(sint)^2}cos(2t)dt
=
π∫_{π/2～π/4}{1-cos(2t)}cos(2t)dt
-π∫_{0～π/4}{1-cos(2t)}cos(2t)dt
=
π∫_{π/2～π/4}[cos(2t)-{cos(2t)}^2]dt
-π∫_{0～π/4}[cos(2t)-{cos(2t)}^2]dt
=
π∫_{π/2～π/4}[cos(2t)-{1+cos(4t)}/2]dt
-π∫_{0～π/4}[cos(2t)-{1+cos(4t)}/2]dt
=
π[sin(2t)/2-{t+sin(4t)/4}/2]_{π/2～π/4}
-π[sin(2t)/2-{t+sin(4t)/4}/2]_{0～π/4}
=
π[1/2-{π/4}/2]-π[0-{π/2}/2]-π[1/2-{π/4}/2]
=
(1/4)(π^2)

この回答へのお礼

お礼日時：2024/02/25 08:52