無次元量ではない量が対数や指数に入ると間違いか？

教えていただきたいことが二つあります。
（１）物理現象を数式で表すとき、無次元量ではない量（距離や質量など）が対数関数や指数関数に入ったときは計算が間違っていると考えて良いでしょうか。たとえば、求めたい量が次元量xの関数として ∫(1/(x+k))dx と表されたとして、これはx+k＞0 のときlog(x+k) ですが、次元量が対数の引数になるので間違っている、と考えて良いですか？
（２）たとえば、二つの次元量AとBの積が無次元でそれが対数の引数になっているとき、このlog(AB)をlog(A)+log(B)と分解して計算を続けることは許されますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/18 16:32

(1) これは定積分でlogA-logB (AとBは同じ次元)

という形になるから問題ない。
logA-logB=log(A/B) となって、logに無次元量A/Bを渡すのと同じ。
(2)も同様。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/19 21:07

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/17 22:38

(1) 不定積分? 定積分?

(2) その意味は?

No.3 回答者： masa2211 回答日時： 2024/05/17 21:17

すみません、間違えました。

log(R1)-log(R2)　　は、log（R1/R2）と同じなので、コレは無次元の対数でした。例になっていません。

この回答へのお礼

R1とR2が半径のとき、log（R1/R2）は問題ありませんが、log(R1)-log(R2)は次元量の対数になります。たとえば log(3.5 cm) とか log(5.2 g) という対数は、物理的にはどのような意味があるのでしょうか？

お礼日時：2024/05/18 11:05

No.2 回答者： masa2211 回答日時： 2024/05/17 20:59

＞2) log(AB)をlog(A)+log(B)と分解して計算を続けることは許されるか

これは、単に、数式の等式だから、無条件にok。


>1)物理現象を数式で表すとき、無次元量ではない量が対数関数や指数関数に入ったときは計算が間違っていると考えて良いでしょうか。

間違いです。
次元量が対数の引数になっている公式は存在します。

その例：湾曲水路の、内側と外側の水位差を求める式(グラショウ式)
ここの、P163
https://www.rinya.maff.go.jp/j/sekou/kizyun/atta …
ΔH＝2.3*Ｖ^2/g*(log(R1)-log(R2))
＝Ｖ^2/g*(ln(R1)-ln(R2))
　　※log(2.71828...)=2.3なので、自然対数なら変な係数は消えます。
　　※※R1とR2が外内の半径、Vが流速、Gが地球の重力加速度。
　　※※※次元を考えると、ΔHは距離なので(log(R1)は無次元。

式の導出：
水路の流速は内側も外側も同じとする。
遠心力、すなわち水面の勾配(水路横断方向の。)は半径に反比例するから、1/Rを内側半径から外側半径まで積分すれば内側と外側の水位差になる。

という、ニュートン力学からのごく普通の導出であり厳密解。
まあ、水路の流速は外側が速いのが実態という理由で近似式扱いです。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/18 10:53

No.1 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/05/17 19:04

物理は数学と違い「その数式はこの世のいかなる現象を顕わしているか」が求められる。

物理における数式（法則）はこの世の現象に立脚していなければならない。

で、たとえば（１０の質量乗）はこの世のいかなる現象を差しているか説明できるだろうか。
説明できないなら何かが現実から遊離しているのである。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/18 10:53