No.3
- 回答日時:
y = ±e^(x^2+c)
= ±e^(x^2) × e^c
= ±e^c × e^(x^2)
= C × e^(x^2)
とするとプラスマイナスはなくなるのではないですか?
No.4
- 回答日時:
±は必要です。
普通微分方程式を解け、と言われたら、すべての初期値に対する解を求めなくてはなりません。
今の場合、y=e^(x^2+c)という解だけだと、y(0)<0という初期値は取れませんね。
また、y(0)のときの解は、y(t)=0ですね。
したがって、解は、
y(t)=e^(x^2+c), ( y(0)>0のとき )
y(t)=0, ( y(0)=0のとき )
y(t)=-e^(x^2+c), ( y(0)<0のとき )
となります。
しかし、よく考えると、
y(t) = y(0)e^(x^2)
とかけることに気づきます。これはすべての初期値に対して成り立つので、これが上の方程式の解なのです。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
#4さんの回答のように±が付きますね。
1/y dy = 2x dx
y>0のとき
log y = x^2 + c
y= e^(x^2+c)=C e^(x^2) ---(1)
ここで, C=e^c>0
y→+0で log y→-∞ このとき x^2 + c≧c(定数) →-∞ とはなりえない。
ということは y→+0とはなりえないということ。---(1')
y<0のとき
z=-y>0とおくと
1/y dy = 1/(-z) d(-z)=1/z dz
=2x dx
から
log z = x^2 + c
z=e^(x^2 + c)=C e^(x^2)
=-y
y=-e^(x^2 + c)=-C e^(x^2)---(2)
y→-0で z→+0,log z→-∞ このとき
x^2 + c≧c(定数) →-∞ とはなりえない。
ということは y→-0とはなりえないということ。---(2')
y>0,y<0をまとめて
y=±e^(x^2 + c)=±C e^(x^2) ---(3)
(1'),(2')から
y=0の近傍の解は存在しない。
これは(3)で仮にy=0とおいた時 xは存在しない。
つまり、(3)で特にyの制限をつけなくても
実数x,yに対して(3)を解としても良いということ
ですね。
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